Seja W um subespaço de dimensão m>0. Se m vetores, v1, ldots, vm in W, são L.I., então eles geram o subespaço W e portanto formam uma base de W.

Passo 1

O enunciado diz que W é um subespaço vetorial de dimensão m>0 e que temos m vetores
,v1,dots,vmin W
que são linearmente independentes. O que queremos provar é que esses vetores geram todo o espaço W, ou seja, spanv1,dots,vm=W, e assim formam uma base de W. Para isso, vamos usar a relação entre dimensão, independência linear e geração em espaços finito-dimensionais.

Passo 2

Lembremos de dois fatos fundamentais sobre espaços vetoriais de dimensão finita:
  1. Qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em W tem no máximo dim W elementos.
  2. Qualquer conjunto de vetores que gera W tem pelo menos dim W elementos.
    Em particular, não podem existir mais de m vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão m.

Passo 3

Suponha, por contradição, que
spanv1,dots,vmneq W
Então existe algum vetor win W que não está no subespaço gerado pelos vi. Como wnotinspanv1,dots,vm, o conjunto
v1,dots,vm,,w
continua sendo linearmente independente (porque nenhuma combinação linear dos vi consegue reproduzir w). Mas isso contradiz o fato de que em W não pode haver mais de m vetores independentes, já que dim W=m.

Passo 4

A contradição mostra que nossa suposição inicial era falsa, logo
spanv1,dots,vm=W
Portanto os m vetores geram W e, por já serem linearmente independentes, formam uma base de W.

Resposta

Os vetores ,v1,dots,vm geram W e, sendo também linearmente independentes, formam uma base de W.

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