Seja
um subespaço de dimensão
. Se
vetores,
, são L.I., então eles geram o subespaço
e portanto formam uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um subespaço vetorial de dimensão
e que temos
vetores
que são linearmente independentes. O que queremos provar é que esses vetores geram todo o espaço , ou seja,
, e assim formam uma base de
. Para isso, vamos usar a relação entre dimensão, independência linear e geração em espaços finito-dimensionais.
que são linearmente independentes. O que queremos provar é que esses vetores geram todo o espaço
Passo 2
Lembremos de dois fatos fundamentais sobre espaços vetoriais de dimensão finita:
- Qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em
tem no máximo elementos. - Qualquer conjunto de vetores que gera
tem pelo menos elementos.
Em particular, não podem existir mais devetores linearmente independentes em um espaço de dimensão .
Passo 3
Suponha, por contradição, que
Então existe algum vetor
que não está no subespaço gerado pelos
. Como
, o conjunto
continua sendo linearmente independente (porque nenhuma combinação linear dos
consegue reproduzir
). Mas isso contradiz o fato de que em
não pode haver mais de
vetores independentes, já que
.
Passo 4
A contradição mostra que nossa suposição inicial era falsa, logo
Portanto os
vetores geram
e, por já serem linearmente independentes, formam uma base de
.
Resposta
Os vetores
geram
e, sendo também linearmente independentes, formam uma base de
.