Verifique quais dos seguintes conjuntos são L.I.
S=(ll-1 & 2 -3 & 1),(rr4 & -6 6 & 0),(rr3 & -4 3 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar quais dos conjuntos apresentados são Linearmente Independentes (L.I.). Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência linear de vetores ou matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se um conjunto de matrizes não pode ser escrito como combinação linear umas das outras. Ou seja, não existe uma forma de multiplicar as matrizes por certos números e somá-las para chegar na matriz zero, a menos que todos os números sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as matrizes do conjunto S :
S = -1 & 2 -3 & 1 , 4 & -6 6 & 0 , 3 & -4 3 & 1

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos considerar uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:
a -1 & 2 -3 & 1 + b 4 & -6 6 & 0 + c 3 & -4 3 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso significa que cada elemento correspondente das matrizes resultantes da combinação deve ser igual a zero.

Passo 4

Vamos escrever as equações resultantes dessa combinação:
Para a posição (1,1):
-1a + 4b + 3c = 0
Para a posição (1,2):
2a - 6b - 4c = 0
Para a posição (2,1):
-3a + 6b + 3c = 0
Para a posição (2,2):
1a + 0b + 1c = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
-1a + 4b + 3c = 0 2a - 6b - 4c = 0 -3a + 6b + 3c = 0 1a + 0b + 1c = 0
Vamos resolver esse sistema para descobrir se a única solução é a = b = c = 0 .

Passo 6

Começamos pela quarta equação:
a + c = 0 Rightarrow c = -a
Agora, substituímos c por -a nas outras equações.

Passo 7

Substituindo na primeira equação:
-1a + 4b + 3(-a) = 0 -1a + 4b - 3a = 0 -4a + 4b = 0 -4a = -4b a = b

Passo 8

Agora, substituímos c = -a e b = a na segunda equação:
2a - 6b - 4c = 0 2a - 6a - 4(-a) = 0 2a - 6a + 4a = 0 0 = 0
Essa equação não nos dá nova informação, então passamos para a terceira equação.

Passo 9

Substituindo c = -a e b = a na terceira equação:
-3a + 6b + 3c = 0 -3a + 6a + 3(-a) = 0 -3a + 6a - 3a = 0 0 = 0
Novamente, não obtivemos nova informação.

Passo 10

Até agora, sabemos que a = b e c = -a . Não há restrições adicionais, o que significa que existem infinitas soluções além de a = b = c = 0 . Por exemplo, se escolhermos a = 1 , então b = 1 e c = -1 , e a combinação linear seria:
1 cdot A + 1 cdot B - 1 cdot C = 0
Isso mostra que as matrizes são linearmente dependentes porque encontramos uma solução não trivial (com a, b, c diferentes de zero) que satisfaz a equação.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

Exercícios relacionados