Considere o subespaço U de R^4 gerado por v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,4,5) e v3=(1,-3,-4,-2). Determine uma base ortonormal de U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base ortonormal do subespaço U de R^4 gerado pelos vetores v1 = (1,1,1,1) , v2 = (1,2,4,5) e v3 = (1,-3,-4,-2) . Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que geram o espaço (neste caso, U ) e são linearmente independentes. Ortonormal significa que os vetores são perpendiculares entre si (ortogonais) e cada um tem norma igual a 1 (normalizados).

Passo 3

Vamos começar aplicando o Processo de Gram-Schmidt aos vetores v1 , v2 e v3 .
Passo 3.1: Definimos u1 = v1 = (1,1,1,1) .
Para normalizar u1 , calculamos sua norma:
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 = 2
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
e1 = u1|u1| = (12, 12, 12, 12)

Passo 4

Passo 3.2: Agora, vamos encontrar u2 subtraindo de v2 a projeção de v2 sobre u1 :
Proju1(v2) = (v2 cdot u1u1 cdot u1) u1
Calculando o produto interno:
v2 cdot u1 = 1 times 1 + 2 times 1 + 4 times 1 + 5 times 1 = 12
u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4
Então:
Proju1(v2) = (124)(1,1,1,1) = (3,3,3,3)
Agora, subtraímos essa projeção de v2 :
u2 = v2 - Proju1(v2) = (1-3, 2-3, 4-3, 5-3) = (-2, -1, 1, 2)
Normalizando u2 :
|u2| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 1 + 4 = raiz10
Então, o segundo vetor ortonormal é:
e2 = u2|u2| = (-2raiz10, -1raiz10, 1raiz10, 2raiz10)

Passo 5

Passo 3.3: Agora, vamos encontrar u3 subtraindo de v3 as projeções sobre u1 e u2 :
u3 = v3 - Proju1(v3) - Proju2(v3)
Primeiro, calculamos Proju1(v3) :
v3 cdot u1 = 1 times 1 + (-3) times 1 + (-4) times 1 + (-2) times 1 = -8
Proju1(v3) = (-84)(1,1,1,1) = (-2, -2, -2, -2)
Agora, calculamos Proju2(v3) :
v3 cdot u2 = 1 times (-2) + (-3) times (-1) + (-4) times 1 + (-2) times 2 = -2 + 3 -4 -4 = -7
Proju2(v3) = (-710)(-2, -1, 1, 2) = (1410, 710, -710, -1410) = (75, 710, -710, -75)
Agora, subtraímos as projeções de v3 :
u3 = (1, -3, -4, -2) - (-2, -2, -2, -2) - (75, 710, -710, -75)
u3 = (3, -1, -2, 0) - (75, 710, -710, -75)
u3 = (155 - 75, -1010 - 710, -2010 + 710, 05 + 75) = (85, -1710, -1310, 75)
Normalizando u3 :
|u3| = raiz(85)^2 + (-1710)^2 + (-1310)^2 + (75)^2 = raiz6425 + 289100 + 169100 + 4925 = raiz256 + 289 + 169 + 196100 = raiz910100 = raiz9.1
|u3| = raiz91010
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
e3 = u3|u3| = (85raiz91010, -1710raiz91010, -1310raiz91010, 75raiz91010) = (16raiz910, -17raiz910, -13raiz910, 14raiz910)

Resposta

A base ortonormal de U é formada pelos seguintes vetores:
e1 = ( dfrac12,, dfrac12,, dfrac12,, dfrac12 ) e2 = ( dfrac-2raiz10,, dfrac-1raiz10,, dfrac1raiz10,, dfrac2raiz10 ) e3 = ( dfrac16raiz910,, dfrac-17raiz910,, dfrac-13raiz910,, dfrac14raiz910 )

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