Considere o subespaço
de
gerado por
e
. Determine uma base ortonormal de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base ortonormal do subespaço
de
gerado pelos vetores
,
e
. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores qualquer em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que geram o espaço (neste caso,
) e são linearmente independentes. Ortonormal significa que os vetores são perpendiculares entre si (ortogonais) e cada um tem norma igual a 1 (normalizados).
Passo 3
Vamos começar aplicando o Processo de Gram-Schmidt aos vetores
,
e
.
Passo 3.1: Definimos
.
Para normalizar
, calculamos sua norma:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 4
Passo 3.2: Agora, vamos encontrar
subtraindo de
a projeção de
sobre
:
Calculando o produto interno:
Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
:
Normalizando
:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 5
Passo 3.3: Agora, vamos encontrar
subtraindo de
as projeções sobre
e
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Agora, subtraímos as projeções de
:
Normalizando
:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal de
é formada pelos seguintes vetores: