Sejam A=[rr2 & 5 -3 & 1] e B=[rr4 & -5 3 & k]. Quais os valores de k, se existir algum, que fazem com que A B=B A?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 2 & 5-3 & 1, B = 4 & -53 & k
e pede os valores de k tais que AB = BA.
O conteúdo que vamos usar é definição de multiplicação de matrizes e igualar cada elemento correspondente de AB e BA.

Passo 2

Calcular AB usando a regra
(AB)ij = sumell=1^2 Aiell,Bell j.
(AB)11 = 2cdot4 + 5cdot3 = 23, (AB)12 = 2cdot(-5) + 5cdot k = -10 + 5k,
(AB)21 = -3cdot4 + 1cdot3 = -9, (AB)22 = -3cdot(-5) + 1cdot k = 15 + k
Portanto
AB = 23 & -10 + 5k -9 & 15 + k

Passo 3

Calcular BA de modo análogo:
(BA)11 = 4cdot2 + (-5)cdot(-3) = 23, (BA)12 = 4cdot5 + (-5)cdot1 = 15,
(BA)21 = 3cdot2 + kcdot(-3) = 6 - 3k, (BA)22 = 3cdot5 + kcdot1 = 15 + k
Logo
BA = 23 & 15 6 - 3k & 15 + k

Passo 4

Para ter AB = BA, igualamos cada entrada correspondente:
  1. De (1,2):
-10 + 5k = 15 ;Longrightarrow; 5k = 25 ;Longrightarrow; k = 5
  1. De (2,1):
-9 = 6 - 3k ;Longrightarrow; -3k = -15 ;Longrightarrow; k = 5
As entradas (1,1) e (2,2) aparecem iguais para todo k. Portanto a única solução é k=5.

Resposta

k = 5

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