Considere o subespaço W do R^4 gerado pelos vetores v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1), v4=(1,0,0,0) :
[v1, v2, v3, v4]=R^4 ?
R: N

Passo 1

O enunciado dá o subespaço gerado pelos vetores
e pergunta se . O conteúdo é dimensão de subespaços e geração de . Para responder, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e contar quantos são efetivamente necessários para gerar .

Passo 2

Mostramos que v3 é combinação linear de v1 e v2. De fato,
-2,v1 + 1,v2 = -2,(1,-1,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,1,1) = v3
Logo v3 não acrescenta nova direção a W.

Passo 3

Agora testamos independência de v1,v2,v4. Suponha
a,v1 + b,v2 + c,v4 = (0,0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada:
1ª coordenada: a + 0 + c = 0,
2ª coordenada: -a + 0 + 0 = 0,
3ª coordenada: 0 + b + 0 = 0,
4ª coordenada: 0 + b + 0 = 0.
Da 2ª vem a=0; então da 1ª segue c=0; das 3ª e 4ª dá b=0.
Portanto a=b=c=0 e v1,v2,v4 é linharesmente independente.

Passo 4

Como é combinação de e são três vetores independentes, a dimensão de é
Para gerar todo precisaríamos de 4 vetores independentes. Logo

Resposta

Não.

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