Verifique se os seguintes conjuntos geram o , quais são ou e base do . Justifique sua resposta: : b) N, LD, não é base
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço bidimensional , especificamente . Precisamos verificar três coisas:
Se esses vetores geram todo o espaço .
Se eles são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI).
Se esse conjunto forma uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geração de espaços, combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Geração de :
Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor em puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer , existem escalares e tais que:
Vamos ver se isso é possível com os vetores dados.
Passo 3
Verificando a Combinação Linear:
Vamos montar o sistema de equações:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 3:
a + 2b = y3
E a primeira equação:
2a + 4b = x ou a + 2b = x2
Agora, comparamos as duas equações:
y3 = x2
Isso implica que y = 3x2. Portanto, apenas vetores que satisfazem essa relação podem ser gerados pela combinação linear dos vetores dados. Isso significa que os vetores não geram todo o R^2, apenas uma reta específica nele.
Passo 4
Dependência Linear (LD ou LI):
Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos verificar se isso ocorre aqui.
Observamos que (4,6) é igual a 2 times (2,3). Ou seja:
(4,6) = 2 times (2,3)
Isso mostra que o segundo vetor é múltiplo do primeiro, então os vetores são linearmente dependentes (LD).
Passo 5
Verificando se é uma Base para R^2:
Uma base para R^2 precisa satisfazer duas condições:
Os vetores devem ser linearmente independentes.
Eles devem gerar todo o espaço R^2.
Como já vimos que os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço, esse conjunto não é uma base para R^2.
Resposta
Os vetores (2,3),(4,6)não geram todo o espaço R^2, são linearmente dependentes (LD) e, portanto, não formam uma base para R^2.