Verifique se os seguintes conjuntos geram o R^2, quais são L D ou L I e base do R^2. Justifique sua resposta:
(2,3),(4,6)
R : b) N, LD, não é base

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço bidimensional R^2, especificamente (2,3),(4,6). Precisamos verificar três coisas:
  1. Se esses vetores geram todo o espaço R^2.
  2. Se eles são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI).
  3. Se esse conjunto forma uma base para R^2.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geração de espaços, combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Geração de R^2:
Um conjunto de vetores gera R^2 se qualquer vetor em R^2 puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer (x, y) in R^2, existem escalares a e b tais que:
a(2,3) + b(4,6) = (x, y)
Vamos ver se isso é possível com os vetores dados.

Passo 3

Verificando a Combinação Linear:
Vamos montar o sistema de equações:
2a + 4b = x 3a + 6b = y
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 3:
a + 2b = y3
E a primeira equação:
2a + 4b = x ou a + 2b = x2
Agora, comparamos as duas equações:
y3 = x2
Isso implica que y = 3x2. Portanto, apenas vetores que satisfazem essa relação podem ser gerados pela combinação linear dos vetores dados. Isso significa que os vetores não geram todo o R^2, apenas uma reta específica nele.

Passo 4

Dependência Linear (LD ou LI):
Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos verificar se isso ocorre aqui.
Observamos que (4,6) é igual a 2 times (2,3). Ou seja:
(4,6) = 2 times (2,3)
Isso mostra que o segundo vetor é múltiplo do primeiro, então os vetores são linearmente dependentes (LD).

Passo 5

Verificando se é uma Base para R^2:
Uma base para R^2 precisa satisfazer duas condições:
  1. Os vetores devem ser linearmente independentes.
  2. Eles devem gerar todo o espaço R^2.
Como já vimos que os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço, esse conjunto não é uma base para R^2.

Resposta

Os vetores (2,3),(4,6) não geram todo o espaço R^2, são linearmente dependentes (LD) e, portanto, não formam uma base para R^2.

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