Verifique se os seguintes conjuntos geram o R^2, quais são L D ou L I e base do R^2. Justifique sua resposta:
(2,1),(3,2)
R : a) S, LI, base

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de vetores (2,1),(3,2) gera o R^2, determinar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) e se formam uma base para R^2. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinante, para resolver isso.

Passo 2

Para verificar se os vetores geram o R^2, precisamos ver se qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, para qualquer (x, y) em R^2, existirem scalars a e b tais que:
a(2,1) + b(3,2) = (x, y)
Isso nos dá o sistema de equações:
2a + 3b = x a + 2b = y

Passo 3

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da matriz ou calcular o determinante. Vamos calcular o determinante da matriz formada pelos vetores:
Matriz = 2 & 3 1 & 2
O determinante é:
det = (2)(2) - (3)(1) = 4 - 3 = 1
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Já que os vetores são linearmente independentes e existem dois vetores em R^2, isso significa que eles geram todo o R^2. Portanto, qualquer vetor no plano pode ser formado por uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 5

Como os vetores geram o R^2 e são linearmente independentes, eles também formam uma base para R^2. Uma base é exatamente um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço.

Resposta

O conjunto (2,1),(3,2) gera o R^2, é linearmente independente (LI) e forma uma base para R^2.

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