Verifique se os seguintes conjuntos geram o , quais são ou e base do . Justifique sua resposta: : a) S, LI, base
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de vetores gera o , determinar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) e se formam uma base para . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinante, para resolver isso.
Passo 2
Para verificar se os vetores geram o , precisamos ver se qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, para qualquer em , existirem scalars e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Para resolver esse sistema, podemos usar o método da matriz ou calcular o determinante. Vamos calcular o determinante da matriz formada pelos vetores:
O determinante é:
det = (2)(2) - (3)(1) = 4 - 3 = 1
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Já que os vetores são linearmente independentes e existem dois vetores em R^2, isso significa que eles geram todo o R^2. Portanto, qualquer vetor no plano pode ser formado por uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Como os vetores geram o R^2 e são linearmente independentes, eles também formam uma base para R^2. Uma base é exatamente um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço.
Resposta
O conjunto (2,1),(3,2) gera o R^2, é linearmente independente (LI) e forma uma base para R^2.