Determine se:
(1,0,6) in[(1,0,1),(1,2,1)]
R: N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o vetor (1,0,6) está no conjunto gerado pelos vetores (1,0,1) e (1,2,1) com relações naturais. Isso está relacionado ao conteúdo de combinações lineares na álgebra linear. Vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação de outros vetores usando números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dados dois vetores v1 = (1,0,1) e v2 = (1,2,1), uma combinação linear desses vetores com coeficientes naturais a e b é:
av1 + bv2 = a(1,0,1) + b(1,2,1)
Isso nos dá:
(a + b,, 0 + 2b,, a + b) = (a + b,, 2b,, a + b)

Passo 3

Queremos que essa combinação seja igual ao vetor (1,0,6). Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + b = 1 2b = 0 a + b = 6

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, 2b = 0, temos b = 0.
  2. Substituindo b = 0 na primeira equação: a + 0 = 1, então a = 1.
  3. Agora, substituindo a = 1 e b = 0 na terceira equação: 1 + 0 = 6, o que dá 1 = 6, o que não faz sentido.

Passo 5

Como chegamos a uma contradição ( 1 = 6), isso significa que não existe um par de coeficientes naturais a e b que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor (1,0,6) não pertence ao conjunto gerado por (1,0,1) e (1,2,1) com coeficientes naturais.

Exercícios relacionados