Considere o subespaço de gerado pelos vetores: e
Encontre uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma base do subespaço dentro de . Uma base é basicamente um conjunto de vetores que geram todo o subespaço e que são linearmente independentes. Para isso, vamos trabalhar com os vetores que geram : , , e . Vamos usar álgebra linear para descobrir quais desses vetores são realmente necessários para formar a base.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma linha da matriz:
A ideia é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada por linhas, usando operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são lineares independentes.
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivot (o primeiro número não zero na primeira coluna). Nosso primeiro pivot é -1 na posição (1,1).
L1:(-1, -1, -1, -1)
L2: somamos L1 à L2 para eliminar o primeiro elemento de L2:
(-1) + (-1) = -2 (mas queremos 0, então mu<iplicamos L1 por 1 e somamos) ã
Na verdade, para cancelar, multiplicamos L1 por 1 e somamos a L2:
Pronto! A matriz está na forma escalonada por linhas, e os vetores correspondentes às linhas que não são zero formam uma base para W. Portanto, uma base de W é formada pelos vetores: