Considere o subespaço W de R^4 gerado pelos vetores:
v1=(-1,-1,-1,-1), v2=(-1,-2,4,3), v3=(-1,-1,-2,-4) e v4=(-3,-4,1,-2)
Encontre uma base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma base do subespaço W dentro de R^4. Uma base é basicamente um conjunto de vetores que geram todo o subespaço e que são linearmente independentes. Para isso, vamos trabalhar com os vetores que geram W: v1=(-1,-1,-1,-1), v2=(-1,-2,4,3), v3=(-1,-1,-2,-4) e v4=(-3,-4,1,-2). Vamos usar álgebra linear para descobrir quais desses vetores são realmente necessários para formar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma linha da matriz:
-1 & -1 & -1 & -1 -1 & -2 & 4 & 3 -1 & -1 & -2 & -4 -3 & -4 & 1 & -2
A ideia é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada por linhas, usando operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são lineares independentes.

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivot (o primeiro número não zero na primeira coluna). Nosso primeiro pivot é -1 na posição (1,1).
  1. L1: (-1, -1, -1, -1)
  2. L2: somamos L1 à L2 para eliminar o primeiro elemento de L2:
(-1) + (-1) = -2 (mas queremos 0, então mu<iplicamos L1 por 1 e somamos) ã
Na verdade, para cancelar, multiplicamos L1 por 1 e somamos a L2:
L2 = L2 + L1 = (-1 + (-1), -2 + (-1), 4 + (-1), 3 + (-1)) = (-2, -3, 3, 2)
  1. L3: similarmente, somamos L1 à L3:
L3 = L3 + L1 = (-1 + (-1), -1 + (-1), -2 + (-1), -4 + (-1)) = (-2, -2, -3, -5)
  1. L4: somamos 3 vezes L1 à L4 para eliminar o -3:
L4 = L4 + 3 times L1 = (-3 + 3*(-1), -4 + 3*(-1), 1 + 3*(-1), -2 + 3*(-1)) = (-6, -7, -2, -5)
Agora, nossa matriz fica:
-1 & -1 & -1 & -1 -2 & -3 & 3 & 2 -2 & -2 & -3 & -5 -6 & -7 & -2 & -5

Passo 4

Vamos simplificar mais. Primeiro, vamos dividir a primeira linha por -1 para facilitar os cálculos:
1 & 1 & 1 & 1 -2 & -3 & 3 & 2 -2 & -2 & -3 & -5 -6 & -7 & -2 & -5
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivot (agora 1 na posição (1,1)):
  1. L2: adicionamos 2 vezes L1 à L2:
L2 = L2 + 2 times L1 = (-2 + 2*1, -3 + 2*1, 3 + 2*1, 2 + 2*1) = (0, -1, 5, 4)
  1. L3: adicionamos 2 vezes L1 à L3:
L3 = L3 + 2 times L1 = (-2 + 2*1, -2 + 2*1, -3 + 2*1, -5 + 2*1) = (0, 0, -1, -3)
  1. L4: adicionamos 6 vezes L1 à L4:
L4 = L4 + 6 times L1 = (-6 + 6*1, -7 + 6*1, -2 + 6*1, -5 + 6*1) = (0, -1, 4, 1)
A matriz agora é:
1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & 5 & 4 0 & 0 & -1 & -3 0 & -1 & 4 & 1

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivot, que está na posição (2,2) e é -1. Vamos deixar ele como 1 dividindo a segunda linha por -1:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -5 & -4 0 & 0 & -1 & -3 0 & -1 & 4 & 1
Agora, eliminamos os elementos acima e abaixo desse pivot:
  1. L1: subtraímos L2 da L1:
L1 = L1 - L2 = (1 - 0, 1 - 1, 1 - (-5), 1 - (-4)) = (1, 0, 6, 5)
  1. L4: adicionamos L2 à L4:
L4 = L4 + L2 = (0 + 0, -1 + 1, 4 + (-5), 1 + (-4)) = (0, 0, -1, -3)
A matriz fica:
1 & 0 & 6 & 5 0 & 1 & -5 & -4 0 & 0 & -1 & -3 0 & 0 & -1 & -3

Passo 6

Agora, vamos para o terceiro pivot, que está na posição (3,3) e é -1. Vamos transformar ele em 1 dividindo a terceira linha por -1:
1 & 0 & 6 & 5 0 & 1 & -5 & -4 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & -1 & -3
Agora, eliminamos o elemento abaixo do pivot na terceira coluna:
  1. L4: adicionamos L3 à L4:
L4 = L4 + L3 = (0 + 0, 0 + 0, -1 + 1, -3 + 3) = (0, 0, 0, 0)
A matriz final é:
1 & 0 & 6 & 5 0 & 1 & -5 & -4 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

Pronto! A matriz está na forma escalonada por linhas, e os vetores correspondentes às linhas que não são zero formam uma base para W. Portanto, uma base de W é formada pelos vetores:
v'1 = (1, 0, 6, 5) v'2 = (0, 1, -5, -4) v'3 = (0, 0, 1, 3)

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