Considere o subespaço de R^4 gerado pelos vetores v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0).
Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão deste subespaço?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1), v4=(1,0,0,0)
O conteúdo necessário é teste de independência linear e cálculo de dimensão via eliminação de Gauss.

Passo 2

Organizamos os vetores como colunas de uma matriz A e aplicamos eliminação para achar colunas-pivô:
A = 1 & 0 & -2 & 1 -1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0
Fazemos primeiro R2 R2+R1, obtendo
1 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0
Em seguida, R4 R4-R3, ficando
1 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Colunas-pivô estão nas posições 1, 2 e 4. Isso significa que v1, v2 e v4 são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço que todos os quatro vetores.

Passo 4

Uma base conveniente é
,v1,,v2,,v4
e a dimensão do subespaço é o número de vetores dessa base, isto é, 3.

Resposta

Uma base é ,v1,v2,v4 e a dimensão do subespaço é 3.

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