Determine uma transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 tal que Im(T)=<(1,2,1),<1,0,1)>.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
,T:R^3toR^3
cuja imagem seja justamente o subespaço gerado por
,(1,2,1) e (1,0,1).
Para isso vamos lembrar que basta definir T em uma base de R^3 de modo que as imagens dos vetores da base gerem exatamente esse subespaço.

Passo 2

Primeiro confira que
daqui .
Portanto .

Passo 3

Escolhemos a base canônica
,e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)
e definimos
T(e1)=(1,2,1), T(e2)=(1,0,1), T(e3)=(0,0,0)
Assim as colunas da matriz de T são exatamente esses vetores.

Passo 4

Com essa definição, qualquer vetor (x,y,z)inR^3 é enviado em
T(x,y,z) =x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3) =x(1,2,1)+y(1,0,1)+z(0,0,0)
Logo
Im(T) =lx(1,2,1)+y(1,0,1)mid x,yinRr =llang<=(1,2,1),(1,0,1)rrang<=

Passo 5

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 ,
pois suas colunas são T(e1), T(e2) e T(e3).

Resposta

Uma escolha para T é
T(x,y,z) =(x+y,;2x,;x+y),
cuja matriz na base canônica é
1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0 ,
e satisfaz Im(T)=lang<=(1,2,1),(1,0,1)rang<=.

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