Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y) = (x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear T:R^2toR^2 definida por
T(x,y) = (x+y,;x-y)
Vamos usar a definição de núcleo ( ker(T)) como o conjunto de vetores enviados em (0,0) e de imagem ( Im(T)) como o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a T.

Passo 2

Para achar
ou seja,
Somando as duas equações dá . Logo,

Passo 3

Para Im(T), observe que
T(1,0)=(1,1), T(0,1)=(1,-1)
Como (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes (determinante -2neq0), elas formam base de R^2. Assim,
Im(T) = R^2

Resposta

ker(T) = (0,0)
Im(T) = R^2

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