Determine uma transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 tal que Ker(T)=<(1,2,1),<1,0,1)>.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear cujo núcleo seja
.
Pela dimensão do núcleo ser 2, a imagem terá dimensão 1 (Teorema da Dimensão).
Então vamos primeiro achar um funcional linear
cujo kernel seja exatamente esse plano, e depois “promover” a uma de em .

Passo 2

Para que , precisamos de
Isso gera o sistema

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira vem
(a+2b+c)-(a+c)=2b=0 Longrightarrow b=0
Substituindo em a+c=0 c=-a. Tomando a=1 escolhemos
(a,b,c)=(1,0,-1)
Esse é um vetor normal ao plano, logo define o funcional.

Passo 4

Definimos
Por construção,

Passo 5

Para obter basta escolher um vetor fixo em (por exemplo ) e definir
Assim é linear e .

Resposta

T(x,y,z) = (,x - z,;0,;0,)

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