Determine uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja
.
Pela dimensão do núcleo ser 2, a imagem terá dimensão 1 (Teorema da Dimensão).
Então vamos primeiro achar um funcional linear
.
Pela dimensão do núcleo ser 2, a imagem terá dimensão 1 (Teorema da Dimensão).
Então vamos primeiro achar um funcional linear
cujo kernel seja exatamente esse plano, e depois “promover”
a uma
de
em
.
Passo 2
Para que , precisamos de
Isso gera o sistema
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira vem
Substituindo em
dá
. Tomando
escolhemos
Esse é um vetor normal ao plano, logo define o funcional.
Passo 4
Definimos
Por construção,
Passo 5
Para obter
basta escolher um vetor fixo
em
(por exemplo
) e definir
Assim
é linear e .