Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, com, definida por
T(x, y)=(x+y, 2 x+5 y, x-y)
Determine a matriz [T]beta^alpha quando
(b) alpha=(-1,3),(1,1) e beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x+y,;2x+5y,;x-y)
e pede a matriz de T relativa à base do domínio alpha=(-1,3),(1,1) e à base do contradomínio beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1).
Para obter [T]beta^alpha, basta:
  1. Calcular T(vj) para cada vetor vj de alpha.
  2. Expressar cada T(vj) como combinação linear dos vetores de beta.
  3. Colocar essas coordenadas como colunas da matriz.

Passo 2

Chamando v1 = (-1,3) e v2=(1,1), temos
T(v1) = T(-1,3) = l((-1)+3,;2(-1)+5cdot3,;(-1)-3r) = (2,13,-4),
T(v2) = T(1,1) = l(1+1,;2cdot1+5cdot1,;1-1r) = (2,7,0)

Passo 3

Para escrever
Isso gera o sistema
Da terceira equação e . Logo, as coordenadas de em são .

Passo 4

Para
que dá o sistema
Da terceira equação e . Assim, as coordenadas de em são .

Passo 5

A matriz [T]beta^alpha tem como colunas essas coordenadas, na ordem dos vetores de alpha. Portanto
[T]beta^alpha = 3 & 5 3 & -3 -4 & 0

Resposta

[T]beta^alpha = 3 & 5 3 & -3 -4 & 0

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