Mostre que a função abaixo é uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
definida por
é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar duas propriedades principais que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição de vetores. Sejam dois vetores quaisquer em
:
A soma desses vetores é:
Aplicando a transformação
nessa soma:
Agora, vamos aplicar
separadamente em
e
e depois somar os resultados:
Observamos que:
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
um vetor em
.
Multiplicando o vetor por
:
Aplicando a transformação
:
Isso mostra que:
Então, a segunda condição também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas, podemos concluir que a função
é uma transformação linear.