Mostre que a função abaixo é uma transformação linear
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x, z-2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z) = (x, z - 2y) é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar duas propriedades principais que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T é linear se, para quaisquer vetores u e v , e para qualquer escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u)
Essas duas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição de vetores. Sejam dois vetores quaisquer em R^3 :
u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2)
A soma desses vetores é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Aplicando a transformação T nessa soma:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, (z1 + z2) - 2(y1 + y2))
Agora, vamos aplicar T separadamente em u e v e depois somar os resultados:
T(u) = (x1, z1 - 2y1) T(v) = (x2, z2 - 2y2) T(u) + T(v) = (x1 + x2, (z1 - 2y1) + (z2 - 2y2)) = (x1 + x2, (z1 + z2) - 2(y1 + y2))
Observamos que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja c um escalar qualquer e u = (x, y, z) um vetor em R^3 .
Multiplicando o vetor por c :
cu = (cx, cy, cz)
Aplicando a transformação T :
T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx, cz - 2cy) = c(x, z - 2y) = cT(u)
Isso mostra que:
T(cu) = cT(u)
Então, a segunda condição também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas, podemos concluir que a função T(x, y, z) = (x, z - 2y) é uma transformação linear.

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