Considere o subespaço de R^3 gerado pelos vetores v1=(3,-1,0) e v2=(0,0,2)
Verifique se v1 e v2 são Linearmente independentes

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1 = (3,-1,0) e v2 = (0,0,2) em R^3 são linearmente independentes.
O conteúdo principal é a definição de independência linear: vetores v1,v2 são LI se a única solução da combinação
c1,v1 + c2,v2 = 0
for c1=c2=0.

Passo 2

Escrevemos a condição de dependência linear:
c1,(3,-1,0) ;+; c2,(0,0,2) ;=;(0,0,0)

Passo 3

A equação vetorial acima equivale ao sistema de coordenadas
(3c1,,-c1,;2c2) ;=;(0,0,0),
isto é,
3c1 = 0, -c1 = 0, 2c2 = 0

Passo 4

Da segunda equação -c1=0 segue c1=0, que automaticamente satisfaz 3c1=0.
Da terceira equação 2c2=0 segue c2=0.
Portanto, a única solução é c1=c2=0, a combinação trivial.

Resposta

v1 e v2 são linearmente independentes.

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