Sejam v1=(1,2) e v2=(3,4). Verifique se estes vetores formam uma base de R^2 e, em caso afirmativo, encontre as coordenadas do vetor v=(-5,2) nesta base

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^2
v1 = (1,2), v2 = (3,4)
e pede duas coisas: primeiro verificar se v1,v2 formam uma base de R^2 (isto é, se são linearmente independentes e geram todo o plano) e, em caso afirmativo, escrever o vetor
v = (-5,2)
como combinação linear de v1 e v2. Para isso vamos precisar usar o critério do determinante (ou da independência linear) e depois resolver um sistema linear para encontrar as coordenadas de v nessa base.

Passo 2

Para verificar se v1,v2 é base, basta checar se são linearmente independentes. Em R^2 isso equivale a calcular o determinante da matriz cujas colunas são v1 e v2:
det 1 & 3 2 & 4 = 1cdot 4 - 3cdot 2 = 4 - 6 = -2
Como -2 neq 0, os vetores são linearmente independentes e, por terem exatamente duas componentes, formam base de R^2.

Passo 3

Queremos encontrar escalares
ou seja,
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
Da primeira equação vem (a = -5 - 3b]. Substituindo na segunda:

Então

Resposta

As coordenadas de v=(-5,2) na base v1,v2 são (13,,-6).

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