Sejam e . Verifique se estes vetores formam uma base de , em caso afirmativo, encontre as coordenadas do vetor nesta base
Passo 1
O enunciado dá os vetores em
e pede duas coisas: primeiro verificar se formam uma base de (isto é, se são linearmente independentes e geram todo o plano) e, em caso afirmativo, escrever o vetor
como combinação linear de e . Para isso vamos precisar usar o critério do determinante (ou da independência linear) e depois resolver um sistema linear para encontrar as coordenadas de nessa base.
Passo 2
Para verificar se é base, basta checar se são linearmente independentes. Em isso equivale a calcular o determinante da matriz cujas colunas são e :
Como -2 neq 0, os vetores são linearmente independentes e, por terem exatamente duas componentes, formam base de R^2.
Passo 3
Queremos encontrar escalares
ou seja,
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
Da primeira equação vem (a = -5 - 3b]. Substituindo na segunda:
Então
Resposta
As coordenadas de v=(-5,2) na base v1,v2 são (13,,-6).