Mostre T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-y, 3 x-y+z) é uma transformação linear. Encontre a matriz associada à essa transformação , com relação às bases canônicas. Encontre também a matriz de T relativamente às bases (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) e (1,2),(2,1).

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x - y,;3x - y + z,)
Queremos (i) mostrar que T é linear, (ii) encontrar a matriz de T nas bases canônicas de R^3 e R^2, e (iii) encontrar a matriz de T nas bases
B = b1=(1,0,0),,b2=(1,1,0),,b3=(1,1,1)subsetR^3 e C = c1=(1,2),,c2=(2,1)subsetR^2

Passo 2

Para verificar a linearidade, tomemos
,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e lambdainR. Então
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
= l(x1+x2-(y1+y2),;3(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2)r)
= (x1-y1,,3x1-y1+z1) + (x2-y2,,3x2-y2+z2) = T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2),
e
Tl(lambda(x,y,z)r) = T(lambda x,lambda y,lambda z) = (lambda x - lambda y,;3lambda x - lambda y + lambda z) = lambda,T(x,y,z)
Logo, T satisfaz aditividade e homogeneidade, sendo linear.

Passo 3

Na base canônica de R^3, os vetores são
,e1=(1,0,0),,e2=(0,1,0),,e3=(0,0,1).
Calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,3), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,-1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,1)
A matriz de T em relação às bases canônicas é então
[T]can = 1 & -1 & 0 3 & -1 & 1

Passo 4

Agora usamos a base B no domínio. Para cada bjin B temos
T(b1)=T(1,0,0)=(1,3), T(b2)=T(1,1,0)=(0,2), T(b3)=T(1,1,1)=(0,3)

Passo 5

Queremos coordenadas de
então satisfaz o sistema
Para , que dá , .
Para temos , que dá , .
Para temos , que dá , .
Portanto, a matriz de em relação às bases (colunas) e (linhas) é

Resposta

A transformação é linear e suas matrizes são:
[T]can = 1 & -1 & 0 3 & -1 & 1 ,
[T]B,C = 5/3 & 4/3 & 2 -1/3 & -2/3 & -1

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