Mostre que Gamma=(x, y, z) in R^3 ; x+y-z=0 e y-2 x=0 é um subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado define
Gamma=(x,y,z)inR^3mid x+y-z=0 e y-2x=0.
Para mostrar que Gamma é subespaço vetorial de R^3, precisamos verificar:
  1. 0inGamma.
  2. Se u,vinGamma então u+vinGamma.
  3. Se alphainR e uinGamma então alphauinGamma.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo 0=(0,0,0):
0+0-0=0, 0-2cdot0=0,
logo 0 satisfaz as duas equações e pertence a Gamma.

Passo 3

Sejam
u=(x1,y1,z1)inGamma e v=(x2,y2,z2)inGamma.
Então
x1+y1-z1=0,;y1-2x1=0,
x2+y2-z2=0,;y2-2x2=0
Para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) temos
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2) =(x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)=0+0=0,
(y1+y2)-2(x1+x2) =(y1-2x1)+(y2-2x2)=0+0=0
Logo u+vinGamma.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x,y,z)inGamma, com
x+y-z=0 e y-2x=0.
Para alphau=(alpha x,alpha y,alpha z) temos
alpha x+alpha y-alpha z =alpha,(x+y-z)=alphacdot0=0,
alpha y-2(alpha x) =alpha,(y-2x)=alphacdot0=0
Assim alphauinGamma.

Passo 5

Opcionalmente, resolvendo o sistema
y=2x, z=x+y=3x,
vemos que
Gamma=(x,2x,3x)mid xinR =span(1,2,3),
o que também mostra que Gamma é subespaço unidimensional de R^3.

Resposta

Gamma é um subespaço vetorial de R^3, pois contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados