Considere o subespaço de R^3 gerado pelos vetores v1=(3,-1,0) e v2=(0,0,2)
O vetor v=(6,-2,2) pertence a[v1, v2]? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor ,v=(6,-2,2) pertence ao subespaço de R^3 gerado por v1=(3,-1,0) e v2=(0,0,2). O conteúdo aqui é combinação linear: precisamos checar se existem escalares alpha e beta tais que alpha v1 + beta v2 = v.

Passo 2

Supondo que alpha v1 + beta v2 = v, temos
alpha,(3,-1,0);+;beta,(0,0,2);=;(6,-2,2)
Isso gera o sistema de coordenadas:
3alpha = 6, -,alpha = -2, 2beta = 2

Passo 3

Resolvendo:
3alpha=6impliesalpha=2, -,alpha=-2impliesalpha=2, 2beta=2impliesbeta=1
As duas equações para alpha são consistentes e definem alpha=2, e beta=1. Logo
v = 2,v1 + 1,v2

Resposta

Sim. O vetor v pertence ao subespaço gerado por v1 e v2, pois v=2v1+v2.

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