Verifique se os vetores formam uma base do espaço R^3.
v1=(0,2,0), v2=(0,2,1) e v3=(1,0,-3).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1 = (0,2,0), v2 = (0,2,1), v3 = (1,0,-3),
e pede para verificar se eles formam uma base de R^3.
Conteúdo: base e independência linear em espaços de dimensão 3.
O que vamos precisar: montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante; se for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam base.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 0 & 1 & -3
Lembrando que, em R^3, três vetores formam base se, e somente se, det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 0cdotdet!2&01&-3 -0cdotdet!2&00&-3 +1cdotdet!2&20&1 = 1cdot(2cdot1-2cdot0) =2

Passo 4

Como det(A)=2neq0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente independentes e, por terem exatamente três vetores em R^3, formam uma base.

Resposta

Sim, os vetores (0,2,0), (0,2,1) e (1,0,-3) formam uma base de R^3, pois o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é 2neq0.

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