Estude a posição relativa das retas r e s
r: x-y-z & =2 x+y-z & =0
s: l2 x-3 y+z=5 x+y-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas r e s no espaço. Vamos usar a ideia de:
1. obter o vetor diretor de cada reta a partir do produto vetorial dos normais dos planos que a definem;
2. verificar se esses vetores são paralelos (caso em que as retas seriam paralelas) ou não;
3. se não forem paralelos, determinar se as retas se intersectam (resolver o sistema paramétrico conjunto) ou são reversas (skew).

Passo 2

Calcular o vetor diretor de r. As normais dos planos que definem r são
n1 = (1,-1,-1), n2 = (1,1,-1)
O vetor diretor dr é
dr = n1 times n2 = i & j & k 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 = (2,0,2),
que podemos simplificar para
dr = (1,0,1)

Passo 3

Calcular o vetor diretor de s. As normais dos planos que definem s são
m1 = (2,-3,1), m2 = (1,1,-2)
O vetor diretor ds é
ds = m1 times m2 = i & j & k 2 & -3 & 1 1 & 1 & -2 = (5,5,5),
isto é,
ds = (1,1,1)

Passo 4

Verificar paralelismo: não existe lambdainR tal que (1,0,1)=lambda(1,1,1), logo dr e ds não são colineares. Portanto as retas não são paralelas. Precisamos agora checar se se intersectam ou são reversas.

Passo 5

Obter a forma paramétrica de
somando as duas equações vem . Tomando ,

Passo 6

Obter a forma paramétrica de
da segunda equação . Então . Tomando ,

Passo 7

Procurar interseção resolvendo
(1+t,,-1,,t) = (2+s,;s,;1+s)
Das componentes temos
1+t = 2+s, -1 = s, t = 1+s
De -1=s e 1+t=2+s vem t=0. Também t=1+s 0=1-1, consistente.

Resposta

As retas r e s são secantes e se intersectam no ponto ,(1,-1,0).

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