O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas e no espaço. Vamos usar a ideia de: . obter o vetor diretor de cada reta a partir do produto vetorial dos normais dos planos que a definem; . verificar se esses vetores são paralelos (caso em que as retas seriam paralelas) ou não; . se não forem paralelos, determinar se as retas se intersectam (resolver o sistema paramétrico conjunto) ou são reversas (skew).
Passo 2
Calcular o vetor diretor de . As normais dos planos que definem são
O vetor diretor é
que podemos simplificar para
dr = (1,0,1)
Passo 3
Calcular o vetor diretor de s. As normais dos planos que definem s são
m1 = (2,-3,1), m2 = (1,1,-2)
O vetor diretor ds é
ds = m1 times m2 = i & j & k 2 & -3 & 1 1 & 1 & -2 = (5,5,5),
isto é,
ds = (1,1,1)
Passo 4
Verificar paralelismo: não existe lambdainR tal que (1,0,1)=lambda(1,1,1), logo dr e ds não são colineares. Portanto as retas não são paralelas. Precisamos agora checar se se intersectam ou são reversas.
Passo 5
Obter a forma paramétrica de
somando as duas equações vem dá . Tomando ,
Passo 6
Obter a forma paramétrica de
da segunda equação . Então . Tomando ,
Passo 7
Procurar interseção resolvendo
(1+t,,-1,,t) = (2+s,;s,;1+s)
Das componentes temos
1+t = 2+s, -1 = s, t = 1+s
De -1=s e 1+t=2+s vem t=0. Também t=1+s dá 0=1-1, consistente.
Resposta
As retas r e s são secantes e se intersectam no ponto ,(1,-1,0).