(1.5) Determine a forma normal de Jordan da matriz M=\left(\begin{array}{rrr}4 & -2 & 6 \\\\ -2 & 5 & 1 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a forma normal de Jordan da matriz
M = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6\\\\ -2 & 5 & 1\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
O que precisamos: calcular o polinômio característico para achar os autovalores e suas multiplicidades algébricas, depois estudar o espaço próprio para determinar a multiplicidade geométrica e, com isso, decidir a estrutura dos blocos de Jordan.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico \chi_M(\lambda)=\det(M-\lambda I) por expansão de Laplace na primeira linha:
\chi_M(\lambda)= \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 & 6\\\\ -2 & 5-\lambda & 1\\\\ -1 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(4-\lambda)\bigl((5-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot1\bigr)
\quad {}+2\bigl((-2)(3-\lambda)-1\cdot(-1)\bigr) +6\bigl((-2)\cdot1-(5-\lambda)(-1)\bigr).
Simplificando esse determinante chega-se a
\chi_M(\lambda) = (\lambda-4)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=4 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para saber quantos blocos de Jordan teremos, calculamos a multiplicidade geométrica de \lambda=4, ou seja, \dim\ker(M-4I).
M-4I = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 6\\\\ -2 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix},
e o sistema (M-4I)(x,y,z)^T=0 leva às equações
-2y+6z=0,\quad -2x+y+z=0,\quad -x+y-z=0.
Dessas, extraímos y=3z e x=2z, de modo que todo autovetor é múltiplo de (2,3,1). Logo a multiplicidade geométrica é 1.
Como a multiplicidade algébrica é 3 e a geométrica é 1, há um único bloco de Jordan de tamanho 3 associado a \lambda=4.

Resposta

A forma normal de Jordan de M é
J = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix},
ou seja, um único bloco de Jordan de ordem 3 para \lambda=4.

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