Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes
(ii) u=(2,1,0), v=(3,-1,2) e w=(0,1,-4) em \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(2,1,0), v=(3,-1,2) e w=(0,1,-4) em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes.
Para isso podemos usar o critério do determinante: montamos a matriz cujas colunas são u, v e w e calculamos seu determinante.

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
cuja primeira coluna é u, segunda é v e terceira é w.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\[6pt] 2 & -4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[6pt] 0 & -4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \dots
\begin{vmatrix} -1 & 1 \\\\ 2 & -4 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-4) - 1\cdot 2 = 4 - 2 = 2, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & -4 \end{vmatrix} = 1\cdot(-4) - 1\cdot 0 = -4.
Logo,
\det(A) = 2 \cdot 2 \;-\; 3 \cdot(-4) = 4 + 12 = 16.]

Passo 4

Como \det(A) = 16 \neq 0, a única combinação
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0 é a trivial ( \alpha=\beta=\gamma=0).
Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.

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