Verifique que onde e define um produto interno no .
Passo 1
O enunciado nos dá a forma bilinear
onde e . Para mostrar que isso é um produto interno em , precisamos verificar:
Bilinearidade em cada argumento.
Simetria: .
Definida-positividade: e igualdade só se .
Passo 2
Bilinearidade e simetria seguem do fato de que podemos escrever
com a matriz
Como cada termo de lang<= u,vrang<= é da forma constante times xi yj, é imediatamente bilinear. Além disso A é simétrica (isto é, A^T=A), o que garante
Para verificar a definida-positividade, calculamos
lang<= u,urang<= = x1^2 - 2x1x2 + 3x2^2
Reescrevendo em forma de quadrados completos:
lang<= u,urang<= = (x1-x2)^2 + 2,x2^2
Claramente (x1-x2)^2>=0 e 2x2^2>=0, logo lang<= u,urang<=>=0. Além disso, lang<= u,urang<==0 implica (x1-x2)^2=0 e x2^2=0, isto é, x2=0 e então x1=x2=0. Logo só o vetor zero tem produto interno zero.
Resposta
Como a forma é bilinear, simétrica e definida-positiva, ela define um produto interno em R^2.