Verifique que lang<= u, vrang<==x1 y1-x1 y2-x2 y1+3 x2 y2 onde u=(x1, x2) e v=(y1, y2) define um produto interno no R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma bilinear
lang<= u,vrang<= ;=; x1y1;-;x1y2;-;x2y1;+;3x2y2,
onde u=(x1,x2) e v=(y1,y2). Para mostrar que isso é um produto interno em R^2, precisamos verificar:
  1. Bilinearidade em cada argumento.
  2. Simetria: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  3. Definida-positividade: lang<= u,urang<=>=0 e igualdade só se u=0.

Passo 2

Bilinearidade e simetria seguem do fato de que podemos escrever
lang<= u,vrang<= = u^TA,v,
com a matriz
A = 1 & -1 -1 & 3
Como cada termo de lang<= u,vrang<= é da forma constante times xi yj, é imediatamente bilinear. Além disso A é simétrica (isto é, A^T=A), o que garante
lang<= u,vrang<= = u^TA,v = v^TA^Tu = v^TA,u = lang<= v,urang<=

Passo 3

Para verificar a definida-positividade, calculamos
lang<= u,urang<= = x1^2 - 2x1x2 + 3x2^2
Reescrevendo em forma de quadrados completos:
lang<= u,urang<= = (x1-x2)^2 + 2,x2^2
Claramente (x1-x2)^2>=0 e 2x2^2>=0, logo lang<= u,urang<=>=0. Além disso, lang<= u,urang<==0 implica
(x1-x2)^2=0 e x2^2=0, isto é, x2=0 e então x1=x2=0. Logo só o vetor zero tem produto interno zero.

Resposta

Como a forma é bilinear, simétrica e definida-positiva, ela define um produto interno em R^2.

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