Considere o subespaço U do R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4), v3=(1,2,-4,-3) e v4=(3,4,-1,2)
Encontre:
uma base de U.

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço
U = spanv1,v2,v3,v4subsetR^4,
onde
v1=(1,1,1,1),;v2=(1,1,2,4),;v3=(1,2,-4,-3),;v4=(3,4,-1,2)
O conteúdo envolve independência linear, dimensão e eliminação de Gauss para achar quais vetores são pivôs.

Passo 2

Organizamos numa matriz cujas linhas são v1,v2,v3,v4 e começamos a eliminar na coluna 1:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 4 1 & 2 & -4 & -3 3 & 4 & -1 & 2
Aplicamos
R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-3R1,
obtendo
1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 3 0 & 1 & -5 & -4 0 & 1 & -4 & -1

Passo 3

Para criar pivô na coluna 2, trocamos R2 com R3 e depois eliminamos em R4:
R4 R4-R2,
ficando
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -5 & -4 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 3

Passo 4

Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo rank=3 e dim U=3. A última linha é redundante, indicando que um dos vetores é combinação dos outros.

Passo 5

Os pivôs vieram das três primeiras linhas originais, ou seja de v1,v2,v3. De fato pode-se verificar que
v4=v1+v2+v3,
então esses três já geram todo U e são independentes.

Resposta

Uma base de U é
,v1,,v2,,v3 = (1,1,1,1),,(1,1,2,4),,(1,2,-4,-3)

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