Uma matriz é dita ser uma raiz quadrada de se . Se , determine
Se C=(ll-2 & 1 -3 & 2), determine, justificando, se C é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, queremos caracterizar todas as matrizes Bin M2(R) tais que
B^2=Acom A=1&00&1=!I2
Em seguida, dado
C=-2&1-3&2,
precisamos verificar se C é diagonalizável. Usaremos os conceitos de polinômio mínimo, valores próprios (autovalores) e o critério de diagonalização por ter autovalores distintos.
Passo 2
Para achar todas as matrizes B que satisfazem B^2=I2, note que todo autovalor lambda de B deve satisfazer
lambda^2=1,
ou seja, lambda=pm1. Logo o polinômio mínimo de B divide
x^2-1=(x-1)(x+1)
que tem raízes simples, implicando que B é diagonalizável (sobre R).
Passo 3
Como B tem apenas os autovalores 1 e -1 e é diagonalizável, existe inversível P tal que
B = P varepsilon1&00&varepsilon2P^-1,
onde varepsilon1,varepsilon2in1,-1. Esses são todos os possíveis B que satisfazem B^2=I2. Há, portanto, infinitas raízes quadradas de I2, parametrizadas por P e pelos sinais varepsiloni.
Passo 4
Agora, para C, calcule o polinômio característico:
Como o polinômio característico de C tem duas raízes simples lambda1=1 e lambda2=-1, o espaço próprio associado a cada valor próprio tem dimensão 1 e, somando, dá 2. Portanto, C é diagonalizável sobre R.
Resposta
Parte 1: As matrizes B tais que B^2=I2 são exatamente as involuções
B = Pvarepsilon1&00&varepsilon2P^-1,
com varepsilon1,varepsilon2in1,-1 e P invertível.
Parte 2: A matriz
C=-2&1-3&2
possui autovalores distintos pm1 e, consequentemente, é diagonalizável.