Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x+y, 2 x+y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar bases para o núcleo e a imagem da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 definida por T(x, y) = (2x + y, 2x + y) .
Conteúdo envolvido:
  • Transformações lineares
  • Núcleo (ou kernel) de uma transformação linear
  • Imagem (ou range) de uma transformação linear
  • Bases vetoriais
Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o conjunto de vetores que são mapeados para o zero (núcleo) e o conjunto de vetores que podem ser alcançados pela transformação (imagem). Além disso, vamos identificar bases para esses conjuntos.

Passo 2

Encontrando o Núcleo de [T):
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em tal que .
Para , queremos resolver:
Observe que as duas equações são iguais, então na verdade temos apenas uma equação:
Podemos resolver para uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para (y]:
Então, todo vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para o núcleo é:

Passo 3

Encontrando a Imagem de T :
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como T(v) para algum v em R^2 .
Para T(x, y) = (2x + y, 2x + y) , observamos que as duas componentes do vetor resultante são iguais. Portanto, qualquer vetor na imagem é da forma (a, a) , onde a = 2x + y .
Isso significa que a imagem é o conjunto de todos os vetores na forma (a, a) , que podem ser escritos como:
(a, a) = a cdot (1, 1)
Portanto, a imagem é gerada pelo vetor (1, 1) , e uma base para a imagem é:
, (1, 1) ,

Resposta

Uma base para o núcleo de T é , (1, -2) , e uma base para a imagem de T é , (1, 1) , .

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