Considere o subespaço vetorial W do espaço vetorial R^4 gerado pelos elementos de um conjunto S definido por S=(1,0,1,2),(2,1,1,2),(1,-1,2,4) determine um subespaço U de R^4 de modo que R^4=S+U.

Passo 1

O enunciado pede um subespaço UsubsetR^4 tal que
R^4 = W + U,
onde
W=spanS, S=(1,0,1,2),,(2,1,1,2),,(1,-1,2,4)
O conteúdo principal é encontrar a dimensão de W, extrair uma base de W e então estendê-la a uma base de R^4, cujos vetores “extra” geram o complemento U.

Passo 2

Vamos calcular dim W e extrair uma base. Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de S:
1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 1 & 1 & 2 2 & 2 & 4
Fazendo redução de linhas obtemos pivôs nas duas primeiras colunas e zeros nas demais linhas, logo rank=2. Assim dim W=2 e podemos escolher, por exemplo,
v1=(1,0,1,2), v2=(2,1,1,2)
como base de W.

Passo 3

Para estender v1,v2 a uma base de R^4 precisamos de mais dois vetores que não estejam em W. Uma escolha simples é usar os vetores canônicos
e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1)
Definimos então
U=spane3,e4

Passo 4

Verificamos que Wcap U=0: se (0,0,a,b)=c1v1+c2v2 então pelas duas primeiras coordenadas vem c2=0 e c1=0, logo a interseção é trivial. Como dim W+dim U=2+2=4, segue que
Woplus U= R^4 Longrightarrow W+U= R^4

Resposta

Uma escolha conveniente é
U=(0,0,a,b)mid a,bin R =span(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

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