Considere o subespaço vetorial do espaço vetorial gerado pelos elementos de um conjunto definido por determine um subespaço de de modo que .
Passo 1
O enunciado pede um subespaço tal que
onde
O conteúdo principal é encontrar a dimensão de , extrair uma base de e então estendê-la a uma base de , cujos vetores “extra” geram o complemento .
Passo 2
Vamos calcular e extrair uma base. Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de :
Fazendo redução de linhas obtemos pivôs nas duas primeiras colunas e zeros nas demais linhas, logo rank=2. Assim dim W=2 e podemos escolher, por exemplo,
v1=(1,0,1,2), v2=(2,1,1,2)
como base de W.
Passo 3
Para estender v1,v2 a uma base de R^4 precisamos de mais dois vetores que não estejam em W. Uma escolha simples é usar os vetores canônicos
e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1)
Definimos então
U=spane3,e4
Passo 4
Verificamos que Wcap U=0: se (0,0,a,b)=c1v1+c2v2 então pelas duas primeiras coordenadas vem c2=0 e c1=0, logo a interseção é trivial. Como dim W+dim U=2+2=4, segue que