Seja W=[lla11 & a12 a21 & a22] in M2 x 2 ; a11+a12=0. Verifique que W é subespaço vetorial de M2 x 2. Em seguida determine uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define
Precisamos mostrar que é subespaço de , encontrar uma base de e calcular .

Passo 2

Para W ser subespaço, verificamos:
  1. O zero de M2times2 é 0&00&0, e 0+0=0, logo 0in W.
  2. Se A,Bin W, então
(A+B)11+(A+B)12 =(A11+B11)+(A12+B12) =(A11+A12)+(B11+B12) =0+0=0,
portanto A+Bin W.
3. Se cin R e Ain W, então
(cA)11+(cA)12 =c(A11+A12) =ccdot0=0,
logo cAin W.
Assim, W é subespaço.

Passo 3

Em qualquer

temos . Logo
Isso mostra que todo elemento de é combinação linear de três matrizes fixas.

Passo 4

As matrizes
E1=-1&10&0, E2=0&01&0, E3=0&00&1
são linearmente independentes (cada uma “liga” um parâmetro diferente) e geram W. Portanto E1,E2,E3 é base de W.

Resposta

Uma base de W é
-1&10&0, 0&01&0, 0&00&1 ,
e dim(W)=3.

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