Sejam U=p in mathscrP2(R) ; p^prime(t)=0, forall t in R
W=p in mathscrP2(R) ; p(0)=p(1)=0 subestações vetoriais de V=mathscrP2(R), encontre uma base de U, W, U cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=mathscrP2(R) e os subespaços
U=,pin V : p'(t)=0, forall tinR, W=,pin V : p(0)=p(1)=0
Queremos encontrar bases de U, W, Ucap W e U+W.

Passo 2

Para U, a condição p'(t)=0 para todo t diz que p é constante. Logo
U=,p(t)=c : cinR
é de dimensão 1, e uma base natural é
,1

Passo 3

Para W, impomos p(0)=0 e p(1)=0. Se pinmathscrP2 então p(t)=at^2+bt+c e
p(0)=c=0, p(1)=a+b+c=a+b=0implies b=-a
Logo
p(t)=al(t^2-tr)=a,t(t-1),
dimensão 1, com base
,t(t-1)

Passo 4

O encontro Ucap W são constantes que também satisfazem p(0)=p(1)=0. Se p(t)=c então c=0. Assim
Ucap W=0,
espírito de dimensão zero, cuja base é o conjunto vazio emptyset.

Passo 5

O soma U+W é gerado por polinômios constantes e por múltiplos de t(t-1). Como 1 e t(t-1) são linearmente independentes em mathscrP2,
U+W=span,1,;t(t-1)
é de dimensão 2, com base
,1,;t(t-1)

Resposta

Base de U: 1
Base de W: t(t-1)
Base de Ucap W: emptyset
Base de U+W: 1,;t(t-1)

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