(2.0 Pontos.) Considere os seguintes vetores em \mathbb{R}^{3} :
v_{1}=(1,1,0), \quad v_{2}=(1,2,1), \quad v_{3}=(0,1,0) \quad \text { e } \quad v_{4}=(0,0,1)
Encontre uma base e a dimensão para W=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
W = \bigl[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\bigr] \subseteq \mathbb{R}^{3},
onde
v_{1}=(1,1,0),\quad v_{2}=(1,2,1),\quad v_{3}=(0,1,0),\quad v_{4}=(0,0,1).
O conteúdo envolve espaços gerados, independência linear e dimensão. Para resolver, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores, aplicar eliminação de Gauss para achar o posto (que é a dimensão de W) e identificar quais colunas formam uma base.

Passo 2

Formamos a matriz A em que cada coluna é um dos v_{i}:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida R_{3}\leftarrow -R_{3} e eliminamos acima do pivô em R_{3}:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3 de A.

Passo 3

Como há 3 pivôs, o posto da matriz é 3, logo \dim(W)=3. As colunas que têm pivô, isto é v_{1},v_{2},v_{3}, são linearmente independentes e geram W. Portanto
\{\,v_{1},\,v_{2},\,v_{3}\}
é uma base de W.

Resposta

Uma base de W é \{v_{1},v_{2},v_{3}\} e \dim(W)=3.

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