(2.0 Pontos.) Considere os seguintes subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} :
V=[(1,1,-1),(2,0,-1)] \text { e } W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+2 z=0\right\}
(a) Encontre V \cap W e sua dimensão.
(b) Justifique se V+W é uma soma direta e exiba a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
V = \mathrm{span}\{(1,1,-1),\,(2,0,-1)\},\quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x - y + 2z = 0\}.
Queremos (a) descrever V\cap W e achar \dim(V\cap W); (b) verificar se V+W é soma direta e calcular \dim(V+W). Usaremos a representação de vetor genérico em V e aplicaremos a equação de W, além da fórmula
\dim(V+W)=\dim V + \dim W - \dim(V\cap W)
e o teste de soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Seja um vetor genérico em V dado por
v = a\,(1,1,-1) + b\,(2,0,-1) = (a+2b,\;a,\;-a-b),
com a,b\in\mathbb{R}. Para que v\in W, ele deve satisfazer a equação de W:
x - y + 2z = 0.

Passo 3

Substituindo v=(x,y,z)=(a+2b,a,-a-b) em x-y+2z=0, obtemos
(a+2b) - a + 2(-a - b) = 0 \quad\Longrightarrow\quad a+2b - a -2a -2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.
Logo, os vetores de V\cap W têm a=0 e são da forma
v = b\,(2,0,-1),\quad b\in\mathbb{R},
ou seja,
V\cap W = \mathrm{span}\{(2,0,-1)\}.

Passo 4

Como V\cap W é gerado por um vetor não nulo, temos
\dim(V\cap W) = 1.

Passo 5

Sabendo que \dim V = 2 (dois geradores independentes) e que W é um plano em \mathbb{R}^3, logo \dim W = 2, aplicamos a fórmula
\dim(V+W) = \dim V + \dim W - \dim(V\cap W) = 2 + 2 - 1 = 3.

Passo 6

Para que V+W fosse uma soma direta, precisaríamos de V\cap W = \{0\}. Como \dim(V\cap W)=1, a interseção não é apenas o vetor nulo, portanto a soma não é direta.

Resposta

(a) V\cap W = \mathrm{span}\{(2,0,-1)\}, \dim(V\cap W)=1.
(b) V+W não é soma direta, e \dim(V+W)=3.

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