(2.0 Pontos.) Considere os seguintes subespaços vetoriais de
:
(a) Encontre
e sua dimensão.
(b) Justifique se
é uma soma direta e exiba a sua dimensão.
(b) Justifique se
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
Queremos (a) descrever
e achar
; (b) verificar se
é soma direta e calcular
. Usaremos a representação de vetor genérico em
e aplicaremos a equação de
, além da fórmula
e o teste de soma direta (interseção trivial).
Passo 2
Seja um vetor genérico em
dado por
com
. Para que
, ele deve satisfazer a equação de
:
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Logo, os vetores de
têm
e são da forma
ou seja,
Passo 4
Como
é gerado por um vetor não nulo, temos
Passo 5
Sabendo que
(dois geradores independentes) e que
é um plano em
, logo
, aplicamos a fórmula
Passo 6
Para que
fosse uma soma direta, precisaríamos de
. Como
, a interseção não é apenas o vetor nulo, portanto a soma não é direta.
Resposta
(a)
,
(b) não é soma direta, e
(b)