Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear T: V V nos seguintes casos:
(c) V doteq R^2, T(1,0) doteq(0,-1), T(0,1) doteq(1,0).

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear Tcolon R^2toR^2 definido por
T(1,0) = (0,-1), T(0,1) = (1,0)
O conteúdo é encontrar autovalores, multiplicidades algébrica e geométrica, e autovetores. Para isso precisamos montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico e resolver det(lambda I - A)=0.

Passo 2

Na base padrão (1,0),(0,1), a primeira coluna de A é T(1,0)=(0,-1) e a segunda é T(0,1)=(1,0). Logo
A = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

O polinômio característico é
det(lambda I - A) = det! lambda & -1 1 & lambda = lambda^2 + 1
Resolvendo lambda^2 + 1 = 0 obtemos as raízes lambda = pm i.

Passo 4

Como estamos em R^2, o polinômio lambda^2+1 não se fatoriza em raízes reais, portanto não há autovalores nem autovetores reais.
Se estendermos o escalar para C, então:
  • Autovalores: lambda1 = i e lambda2 = -i.
  • Ambos têm multiplicidade algébrica 1.
  • A multiplicidade geométrica também é 1 em cada caso, pois cada autovalor gera um único espaço unidimensional de soluções.
  • Autovetores em C^2:
    Para lambda = i, solução de (A - iI)v=0 dá, por exemplo, v1 = 1 i Para lambda = -i, solução de (A + iI)v=0 dá, por exemplo, v2 = 1 -i

Resposta

Não existem autovalores nem autovetores em R^2.
Em C^2:
lambda1 = i, lambda2 = -i,
cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1, e autovetores v1=(1,i), v2=(1,-i).

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