Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear nos seguintes casos:
(c) .
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear definido por
O conteúdo é encontrar autovalores, multiplicidades algébrica e geométrica, e autovetores. Para isso precisamos montar a matriz de na base canônica, calcular o polinômio característico e resolver .
Passo 2
Na base padrão , a primeira coluna de é e a segunda é . Logo
Passo 3
O polinômio característico é
det(lambda I - A) = det! lambda & -1 1 & lambda = lambda^2 + 1
Resolvendo lambda^2 + 1 = 0 obtemos as raízes lambda = pm i.
Passo 4
Como estamos em R^2, o polinômio lambda^2+1 não se fatoriza em raízes reais, portanto não há autovalores nem autovetores reais.
Se estendermos o escalar para C, então:
Autovalores: lambda1 = i e lambda2 = -i.
Ambos têm multiplicidade algébrica 1.
A multiplicidade geométrica também é 1 em cada caso, pois cada autovalor gera um único espaço unidimensional de soluções.
Autovetores em C^2:
Para lambda = i, solução de (A - iI)v=0 dá, por exemplo, v1 = 1 i Para lambda = -i, solução de (A + iI)v=0 dá, por exemplo, v2 = 1 -i
Resposta
Não existem autovalores nem autovetores em R^2.
Em C^2:
lambda1 = i, lambda2 = -i,
cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1, e autovetores v1=(1,i), v2=(1,-i).