Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que T(1,1,0)=(-1,2,0) e T(0,2,0)=(0,1,2). Determine T(1,0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 cujos valores em dois vetores do plano z=0 são conhecidos:
T(1,1,0)=(-1,2,0), T(0,2,0)=(0,1,2)
Como (1,1,0) e (0,2,0) formam uma base do subespaço (x,y,0), podemos encontrar T(1,0,0) expressando (1,0,0) como combinação linear desses dois vetores e usando linearidade.

Passo 2

Procuramos escalares a,b tais que
(1,0,0) =a,(1,1,0)+b,(0,2,0)
Isso dá o sistema em R^2:
(a,;a+2b)=(1,0)
Logo a=1 e 1+2b=0 implica b=-tfrac12.

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(1,0,0) =Tl(1cdot(1,1,0)+(-tfrac12)cdot(0,2,0)r) =1cdot T(1,1,0) -tfrac12cdot T(0,2,0)

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos:
T(1,0,0) =(-1,2,0) -tfrac12,(0,1,2) = (-1,2,0) + (0,-tfrac12,-1) = l(-1,tfrac32,-1r)

Resposta

T(1,0,0)=l(-1,tfrac32,-1r)

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