Seja A=[cccc2 a & 4 & 2 b & 4 0 & 1 & 1 & 2 a & 2 & 4+b & 2 0 & 1 & 1 & 1]. Determine os valores de a e b para os quais o determinante de A seja igual a 2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2a & 4 & 2b & 4 0 & 1 & 1 & 2 a & 2 & 4+b & 2 0 & 1 & 1 & 1
e pede os valores de a e b tais que det A=2. Para isso, vamos usar operações elementares de linha (que não mudam o valor do determinante) para simplificar e depois aplicar desenvolvimento por cofactores.

Passo 2

Subtraímos a linha 4 da linha 2:
L2 >=ts L2 - L4 Longrightarrow 2a & 4 & 2b & 4 0 & 0 & 0 & 1 a & 2 & 4+b & 2 0 & 1 & 1 & 1
Como essa operação não altera det A, continuamos com esta matriz.

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela segunda linha, que tem só um elemento não nulo ( 1 na coluna 4). O sinal do cofator é (-1)^2+4=+1, e o menor correspondente elimina a linha 2 e coluna 4, ficando um 3times3:
det A = 1;cdot det 2a & 4 & 2b a & 2 & 4+b 0 & 1 & 1

Passo 4

Calculamos o determinante desse 3times3. Por exemplo, pela primeira linha:
det 2a & 4 & 2b a & 2 & 4+b 0 & 1 & 1 = 2a,(2cdot1-(4+b)cdot1) -4,(acdot1-(4+b)cdot0) +2b,(acdot1-2cdot0)
Isso dá
2a,(2-4-b)-4a+2ab =2a(-2-b)-4a+2ab =-4a-2ab-4a+2ab =-8a
Logo det A=-8a.

Passo 5

Queremos det A=2, isto é
-8a = 2 Longrightarrow a = -tfrac14
Não aparece b na expressão, então b pode ser qualquer número real.

Resposta

a = -tfrac14, bin R

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