Considere o subespaço
de
gerado pelos vetores
e
. Encontre
uma base ortogonal de
;
uma base ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base ortogonal do subespaço
de
, que é gerado pelos vetores
e
. Basicamente, queremos encontrar dois vetores em
que sejam perpendiculares entre si e que possam gerar todo o subespaço
. Para isso, vamos usar o método de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores quaisquer em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que os vetores
e
sejam linearmente independentes, ou seja, que nenhum dos dois possa ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para
e
, vemos que não há um número que, multiplicado por
, nos dá
. Então, eles são independentes e formam uma base para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal. O primeiro vetor da nossa base ortogonal será igual a
:
Passo 4
O próximo passo é encontrar um vetor
que esteja em
e seja ortogonal a
. Para isso, subtraímos de
a projeção de
sobre
:
Vamos calcular o produto escalar
:
E agora
:
Então, a projeção fica:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 5
Agora temos os dois vetores
e
que são ortogonais entre si e que geram o subespaço
. Podemos verificar a ortogonalidade calculando o produto escalar deles:
Como o produto escalar é zero, os vetores são de fato ortogonais.
Resposta
Uma base ortogonal de
é formada pelos vetores