Considere o subespaço W de R^3 gerado pelos vetores u=(1,2,1) e v=(0,1,1). Encontre
uma base ortogonal de W;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base ortogonal do subespaço de , que é gerado pelos vetores e . Basicamente, queremos encontrar dois vetores em que sejam perpendiculares entre si e que possam gerar todo o subespaço . Para isso, vamos usar o método de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores quaisquer em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que os vetores e sejam linearmente independentes, ou seja, que nenhum dos dois possa ser escrito como múltiplo do outro. Olhando para e , vemos que não há um número que, multiplicado por , nos dá . Então, eles são independentes e formam uma base para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal. O primeiro vetor da nossa base ortogonal será igual a u1 = u = (1,2,1) :

Passo 4

O próximo passo é encontrar um vetor Proju1 v = ( v cdot u1u1 cdot u1 ) u1 que esteja em v cdot u1 = (0)(1) + (1)(2) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3 e seja ortogonal a u1 cdot u1 = (1)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6 . Para isso, subtraímos de Proju1 v = ( 36 ) (1,2,1) = ( 12 ) (1,2,1) = ( 12, 1, 12 ) a projeção de u2 = v - Proju1 v = (0,1,1) - ( 12, 1, 12 ) = ( -12, 0, 12 ) sobre :
Vamos calcular o produto escalar :
E agora :
Então, a projeção fica:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :

Passo 5

Agora temos os dois vetores u1 cdot u2 = (1)(-12) + (2)(0) + (1)(12) = -12 + 0 + 12 = 0 e que são ortogonais entre si e que geram o subespaço . Podemos verificar a ortogonalidade calculando o produto escalar deles:
Como o produto escalar é zero, os vetores são de fato ortogonais.

Resposta

Uma base ortogonal de u1 = (1,, 2,, 1) e u2 = ( -12,; 0,; 12 ) é formada pelos vetores

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