Encontre k tal que os vetores u=(1,3, k,-2) e v=(4,-1,1, k) de R^4 sejam ortogonais em relação ao produto interno canônico.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz com que os vetores e em sejam ortogonais usando o produto interno canônico. Basicamente, ortogonais significa que eles formam um ângulo de 90 graus entre si, e o que vamos precisar para resolver isso é entender como calcular o produto interno e resolver uma equação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno canônico. Para dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 e u cdot v = 0 em , o produto interno é dado por:
Se os vetores forem ortogonais, então o produto interno deles é igual a zero:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos vetores que temos:
u cdot v = (1)(4) + (3)(-1) + (k)(1) + (-2)(k)
Agora, vamos simplificar essa expressão:
4 + (-3) + k - 2k = 0
Simplificando ainda mais:
1 - k = 0

Passo 4

Agora, é só resolver essa equação para encontrar o valor de 1 - k = 0 implies k = 1 :

Resposta

O valor de que torna os vetores e ortogonais é .

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