Considere o subespaço W de R^3 gerado pelos vetores u=(1,2,1) e v=(0,1,1). Encontre
uma base ortonormal de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de que é gerado pelos vetores e . Isso significa que queremos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares entre si e que tenham comprimento 1, além de ainda gerarem o mesmo espaço que e . Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ortogonalizar e depois normalizar os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ortonormalidade. Uma base é ortonormal se todos os vetores são ortogonais (produto interno zero) entre si e cada vetor tem norma 1. Para conseguir isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em um conjunto ortogonal e, depois, normaliza esses vetores.

Passo 3

Começamos com o primeiro vetor . Como é o primeiro, ele já está “pronto” para a base ortogonal. Agora, precisamos pegar o segundo vetor e tornar ele ortogonal ao primeiro.

Passo 4

Para isso, usamos a fórmula de projeção:
proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Vamos calcular o produto interno v cdot u = (0)(1) + (1)(2) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3 :
u cdot u = (1)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6
E proju v = ( 36 ) u = 12 (1, 2, 1) = ( 12, 1, 12 ) :
Então,

Passo 5

Agora, subtraímos essa projeção do vetor v' = v - proju v = ( 0, 1, 1 ) - ( 12, 1, 12 ) = ( -12, 0, 12 ) para obter um vetor que é ortogonal a :

Passo 6

Agora temos dois vetores ortogonais: |u| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 e |v'| = raiz(-12)^2 + 0^2 + (12)^2 = raiz14 + 0 + 14 = raiz12 = raiz22 . Para tornar essa base ortonormal, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pela sua norma.
Vamos calcular a norma de :
E a norma de :

Passo 7

Agora, normalizamos os vetores:
e1 = u|u| = 1raiz6 (1, 2, 1)
e2 = v'|v'| = 2raiz2 ( -12, 0, 12 ) = 1raiz2 ( -1, 0, 1 )

Resposta

Uma base ortonormal de e1 = 1raiz6 1 2 1 e e2 = 1raiz2 -1 0 1 é formada pelos vetores

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