Considere o subespaço
de
gerado pelos vetores
e
. Encontre
uma base ortonormal de
.
uma base ortonormal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortonormal para o subespaço
de
que é gerado pelos vetores
e
. Isso significa que queremos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares entre si e que tenham comprimento 1, além de ainda gerarem o mesmo espaço que
e
. Para resolver isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ortogonalizar e depois normalizar os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ortonormalidade. Uma base é ortonormal se todos os vetores são ortogonais (produto interno zero) entre si e cada vetor tem norma 1. Para conseguir isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em um conjunto ortogonal e, depois, normaliza esses vetores.
Passo 3
Começamos com o primeiro vetor
. Como é o primeiro, ele já está “pronto” para a base ortogonal. Agora, precisamos pegar o segundo vetor
e tornar ele ortogonal ao primeiro.
Passo 4
Para isso, usamos a fórmula de projeção:
Vamos calcular o produto interno
:
E
:
Então,
Passo 5
Agora, subtraímos essa projeção do vetor
para obter um vetor que é ortogonal a
:
Passo 6
Agora temos dois vetores ortogonais:
e
. Para tornar essa base ortonormal, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pela sua norma.
Vamos calcular a norma de
:
E a norma de
:
Passo 7
Agora, normalizamos os vetores:
Resposta
Uma base ortonormal de
é formada pelos vetores