Considere os subespaços 𝑈={(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡);𝑦−2𝑧+𝑡=0} e 𝑊={(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡);𝑥=𝑡,𝑦=2𝑧} .
Ache uma base e a dimensão de 𝑈 , 𝑊 , 𝑈∩𝑊 e 𝑈+𝑊 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente vai trabalhar com subespaços vetoriais U e W em um espaço de quatro dimensões. Precisamos encontrar uma base e a dimensão de U , W , a interseção U cap W e a soma U + W . Para isso, vamos lembrar de como identificar bases e calcular dimensões de subespaços, além de usar conceitos de interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço U . O conjunto U é definido por:
U = (x, y, z, t) in R^4 mid y - 2z + t = 0
Isso significa que qualquer vetor em U deve satisfazer a equação y - 2z + t = 0 .

Passo 3

Para encontrar uma base de U , vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a equação para y :
y = 2z - t
Assim, podemos escrever um vetor genérico de U como:
(x, y, z, t) = (x, 2z - t, z, t)
Agora, vamos expressar isso em termos das variáveis livres x , z e t :
(x, y, z, t) = x(1, 0, 0, 0) + z(0, 2, 1, 0) + t(0, -1, 0, 1)
Portanto, uma base para U é formada pelos vetores:
, (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) ,

Passo 4

A dimensão de U é o número de vetores na base de U . Como encontramos três vetores na base, temos:
dim(U) = 3

Passo 5

Agora, vamos analisar o subespaço W . O conjunto W é definido por:
W = (x, y, z, t) in R^4 mid x = t, y = 2z
Isso nos dá duas equações que os vetores de W devem satisfazer.

Passo 6

Para encontrar uma base de W , vamos expressar x e y em termos de z e t . De x = t e y = 2z , temos:
(x, y, z, t) = (t, 2z, z, t)
Podemos escrever isso como uma combinação linear:
(t, 2z, z, t) = t(1, 0, 0, 1) + z(0, 2, 1, 0)
Portanto, uma base para W é:
, (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0) ,

Passo 7

A dimensão de W é o número de vetores na sua base. Como temos dois vetores, temos:
dim(W) = 2

Passo 8

Agora, vamos encontrar a interseção U cap W , que consiste nos vetores que estão tanto em U quanto em W . Isso significa que esses vetores devem satisfazer todas as equações de U e W :
y - 2z + t = 0 x = t y = 2z

Passo 9

Substituindo y = 2z na primeira equação:
2z - 2z + t = t = 0
E como t = 0 , então x = t = 0 . Portanto, os vetores na interseção têm a forma:
(0, 2z, z, 0)
Podemos escrever isso como:
z(0, 2, 1, 0)
Então, uma base para U cap W é:
, (0, 2, 1, 0) ,

Passo 10

A dimensão de U cap W é o número de vetores na sua base. Como temos um vetor, temos:
dim(U cap W) = 1

Passo 11

Por fim, vamos encontrar a soma U + W , que consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W . Para encontrar uma base de U + W , combinamos as bases de U e W :
, (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1), (1, 0, 0, 1) ,
Vamos verificar a independência linear e eliminar vetores redundantes. Observamos que o vetor (1, 0, 0, 1) já pode ser gerado pela combinação de (1, 0, 0, 0) e (0, -1, 0, 1) :
(1, 0, 0, 1) = (1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1)
Portanto, removemos o vetor redundante e a base de U + W fica:
, (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) ,

Passo 12

A dimensão de U + W é o número de vetores na sua base. Como temos três vetores, temos:
dim(U + W) = 3

Resposta

  • Base de U : , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , e dim(U) = 3
  • Base de W : , (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0) , e dim(W) = 2
  • Base de U cap W : , (0, 2, 1, 0) , e dim(U cap W) = 1
  • Base de U + W : , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , e dim(U + W) = 3

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