Considere os subespaços 𝑈={(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡);𝑦−2𝑧+𝑡=0} e 𝑊={(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡);𝑥=𝑡,𝑦=2𝑧} .
Ache uma base e a dimensão de 𝑈 , 𝑊 , 𝑈∩𝑊 e 𝑈+𝑊 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente vai trabalhar com subespaços vetoriais e em um espaço de quatro dimensões. Precisamos encontrar uma base e a dimensão de , , a interseção e a soma . Para isso, vamos lembrar de como identificar bases e calcular dimensões de subespaços, além de usar conceitos de interseção e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço . O conjunto é definido por:
Isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer a equação .
Passo 3
Para encontrar uma base de , vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver a equação para :
Assim, podemos escrever um vetor genérico de como:
Agora, vamos expressar isso em termos das variáveis livres , e :
Portanto, uma base para é formada pelos vetores:
Passo 4
A dimensão de é o número de vetores na base de . Como encontramos três vetores na base, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o subespaço . O conjunto é definido por:
Isso nos dá duas equações que os vetores de devem satisfazer.
Passo 6
Para encontrar uma base de , vamos expressar e em termos de e . De e , temos:
Podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para é:
Passo 7
A dimensão de é o número de vetores na sua base. Como temos dois vetores, temos:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a interseção , que consiste nos vetores que estão tanto em quanto em . Isso significa que esses vetores devem satisfazer todas as equações de e :
Passo 9
Substituindo y = 2z na primeira equação:
2z - 2z + t = t = 0
E como t = 0 , então x = t = 0 . Portanto, os vetores na interseção têm a forma:
(0, 2z, z, 0)
Podemos escrever isso como:
z(0, 2, 1, 0)
Então, uma base para U cap W é:
, (0, 2, 1, 0) ,
Passo 10
A dimensão de U cap W é o número de vetores na sua base. Como temos um vetor, temos:
dim(U cap W) = 1
Passo 11
Por fim, vamos encontrar a soma U + W , que consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W . Para encontrar uma base de U + W , combinamos as bases de U e W :
Vamos verificar a independência linear e eliminar vetores redundantes. Observamos que o vetor (1, 0, 0, 1) já pode ser gerado pela combinação de (1, 0, 0, 0) e (0, -1, 0, 1) :
(1, 0, 0, 1) = (1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1)
Portanto, removemos o vetor redundante e a base de U + W fica:
, (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) ,
Passo 12
A dimensão de U + W é o número de vetores na sua base. Como temos três vetores, temos:
dim(U + W) = 3
Resposta
Base de U : , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , e dim(U) = 3
Base de W : , (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0) , e dim(W) = 2
Base de U cap W : , (0, 2, 1, 0) , e dim(U cap W) = 1
Base de U + W : , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , e dim(U + W) = 3