Considere os subespaços U, W do R^3 definidos por:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid y=0
É possível afirmar que R^3=U oplus W? Justifique.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
U=(x,y,z)inR^3mid x=0 (o plano yz) e
W=(x,y,z)inR^3mid y=0 (o plano xz).
Queremos saber se
R^3 ;=; Uoplus W,
ou seja, se todo vetor em R^3 pode ser escrito de forma única como soma de um vetor de U e um vetor de W.

Passo 2

Primeiro mostramos que U+W=R^3. Tome um vetor arbitrário (x,y,z)inR^3. Podemos escrevê-lo como soma de
u=(0,y,0)in U e w=(x,0,z)in W,
pois
(0,y,0)+(x,0,z)=(x,y,z)
Logo, cada (x,y,z) pertence a U+W e assim U+W=R^3.

Passo 3

Para que seja soma direta é necessário ainda que
Ucap W=0
Mas
Ucap W=(x,y,z)mid x=0,;y=0=(0,0,z)
Esse é o eixo z, que contém vetores não nulos. Portanto
Ucap Wneq(0,0,0),
o que impede que a soma seja direta.

Resposta

Não. Embora U+W=R^3, a interseção Ucap W=(0,0,z) não é só o vetor zero, logo não temos R^3=Uoplus W.

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