Exercício 4. Em cada item, través de uma diagonalização, ou seja, uma mudança de variáveis, reduza a equação dada a uma forma mais simples e faça um esboço do gráfico desta cônica no sistema de coordenadas de eixos x e y.
(a) 3 x^2+2 raiz3 x y+y^2+2 x-2 raiz3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2+2raiz3,xy+y^2+2x-2raiz3,y=0
e pede que a reduzamos a uma forma sem termo xy por meio de rotação de eixos (diagonalização da forma quadrática). Para isso, usaremos a fórmula de rotação
x = Xcostheta - Ysintheta, y = Xsintheta + Ycostheta,
escolhendo theta que anula o coeficiente misto.

Passo 2

O coeficiente A de x^2 é 3, o coeficiente C de y^2 é 1 e o coeficiente B do termo xy é 2raiz3. Calculamos
tan(2theta) = BA - C = 2raiz33 - 1 = raiz3,
logo 2theta = 60^circ e
theta = 30^circ, costheta = raiz32, sintheta = 12

Passo 3

Sabemos que a forma quadrática pode ser diagonalizada nos autovalores da matriz
3&raiz3raiz3&1. Seus autovalores lambda satisfazem
det!l(3&raiz3raiz3&1-lambda Ir) =(3-lambda)(1-lambda)-3=0 ;Longrightarrow; lambda(lambda-4)=0,
portanto lambda1=0 e lambda2=4. Assim, no sistema (X,Y) girado em 30^circ, o termo quadrático vira
4,X^2+0cdot Y^2=4X^2

Passo 4

Transformamos também os termos lineares. Substituindo
x = tfracraiz32X - tfrac12Y, y = tfrac12X + tfracraiz32Y
em 2x-2raiz3,y, obtemos
2l(tfracraiz32X - tfrac12Yr) -2raiz3l(tfrac12X + tfracraiz32Yr) = l(raiz3X - Yr) -l(raiz3X +3Yr) =-4Y
Logo, a equação completa fica
4X^2-4Y=0 Long<=ftrightarrow X^2 - Y = 0

Passo 5

Chegamos à forma reduzida
Y = X^2,
que é uma parábola com eixo coincidente com o eixo Y no sistema girado em 30^circ em relação ao sistema original (x,y). No sistema (x,y) ela aparece como a parábola padrão Y=X^2 girada de 30^circ.

Resposta

A cônica é uma parábola. Na nova coordenada (X,Y) girada de 30^circ ela fica
Y = X^2
e no sistema original corresponde à mesma parábola rotacionada em 30^circ.

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