Exercício 4. Em cada item, través de uma diagonalização, ou seja, uma mudança de variáveis, reduza a equação dada a uma forma mais simples e faça um esboço do gráfico desta cônica no sistema de coordenadas de eixos
e
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede que a reduzamos a uma forma sem termo
por meio de rotação de eixos (diagonalização da forma quadrática). Para isso, usaremos a fórmula de rotação
escolhendo
que anula o coeficiente misto.
Passo 2
O coeficiente
de
é
, o coeficiente
de
é
e o coeficiente
do termo
é
. Calculamos
logo
e
Passo 3
Sabemos que a forma quadrática pode ser diagonalizada nos autovalores da matriz
. Seus autovalores
satisfazem
portanto
e
. Assim, no sistema
girado em
, o termo quadrático vira
Passo 4
Transformamos também os termos lineares. Substituindo
em
, obtemos
Logo, a equação completa fica
Passo 5
Chegamos à forma reduzida
que é uma parábola com eixo coincidente com o eixo
no sistema girado em
em relação ao sistema original
. No sistema
ela aparece como a parábola padrão
girada de
.
Resposta
A cônica é uma parábola. Na nova coordenada
girada de
ela fica
e no sistema original corresponde à mesma parábola rotacionada em
.