Exercício 4. Em cada item, través de uma diagonalização, ou seja, uma mudança de variáveis, reduza a equação dada a uma forma mais simples e faça um esboço do gráfico desta cônica no sistema de coordenadas de eixos
e
.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para, através de uma rotação de eixos (ou diagonalização), transformar
numa forma mais simples e então esboçar o gráfico em
.
Conteúdo: classificação de cônicas pelo discriminante e eliminação do termo
via rotação (autovetores do formulário quadrático).
Conteúdo: classificação de cônicas pelo discriminante
Passo 2
Identificamos a parte quadrática
cuja matriz associada é
O discriminante é
logo trata-se de uma parábola. Calculamos os autovalores de
:
ou seja
e
.]
Passo 3
Os autovetores correspondentes são
para :
,
para :
.
Definimos as novas coordenadas normalizadas por
para
para
Definimos as novas coordenadas
Invertendo, obtemos
Passo 4
Substituindo na equação original:
a parte quadrática vira , e o termo linear
a parte quadrática vira
Logo a equação passa a ser
Dividindo tudo por
:
Passo 5
Para ver o tipo canônico completamos quadrado em
:
Isto é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo
, vértice em
e que abre no sentido decrescente de
.
Passo 6
Voltando ao sistema
, o vértice fica em
O eixo da parábola é paralelo ao vetor autovetor de
, ou seja na direção de
. A parábola abre no sentido negativo de
, isto é na direção
.
Esboço: vértice em
, eixo inclinado de coeficiente angular
, e forma simétrica em relação a ele, abrindo “para cima” no sentido do vetor
.
Resposta
Forma canônica em
:
vértece
em
, eixo na direção
, parábola abrindo no sentido
.