Exercício 4. Em cada item, través de uma diagonalização, ou seja, uma mudança de variáveis, reduza a equação dada a uma forma mais simples e faça um esboço do gráfico desta cônica no sistema de coordenadas de eixos x e y.
(c) 4 x^2+4 x y+y^2-3 raiz5 x-4 raiz5 y=15

Passo 1

O enunciado pede para, através de uma rotação de eixos (ou diagonalização), transformar
4x^2 + 4xy + y^2 - 3raiz5,x - 4raiz5,y = 15
numa forma mais simples e então esboçar o gráfico em xy.
Conteúdo: classificação de cônicas pelo discriminante B^2-4AC e eliminação do termo xy via rotação (autovetores do formulário quadrático).

Passo 2

Identificamos a parte quadrática
Q(x,y) = 4x^2 + 4xy + y^2,
cuja matriz associada é
A = 4 & 2[6pt] 2 & 1
O discriminante é
B^2-4AC = 4^2 - 4cdot4cdot1 = 16 -16 = 0,
logo trata-se de uma parábola. Calculamos os autovalores de A:
lambda1,2 = 4+12 pm raizl(4-12r)^2 + 2^2 = 2,5 pm raiztfrac94 +4 = 2,5 pm 2,5,
ou seja lambda1=5 e lambda2=0.]

Passo 3

Os autovetores correspondentes são
para lambda1=5: ,(2,1),
para lambda2=0: ,(1,-2).
Definimos as novas coordenadas (u,v) normalizadas por
u = 2x + yraiz5, v = x - 2yraiz5
Invertendo, obtemos
x = 2u + vraiz5, y = u - 2vraiz5

Passo 4

Substituindo na equação original:
a parte quadrática vira 5u^2, e o termo linear
-3raiz5,x -4raiz5,y = -3raiz5,2u+vraiz5 ;-;4raiz5,u-2vraiz5 = -6u -3v -4u +8v = -10u +5v
Logo a equação passa a ser
5u^2 ;-;10u ;+;5v ;=;15
Dividindo tudo por 5:
u^2 -2u + v = 3

Passo 5

Para ver o tipo canônico completamos quadrado em u:
u^2 -2u +1 + v = 3 +1 ;Longrightarrow; (u-1)^2 + v = 4 ;Longrightarrow; v = 4 ;-;(u-1)^2
Isto é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo v, vértice em (u,v)=(1,4) e que abre no sentido decrescente de v.

Passo 6

Voltando ao sistema xy, o vértice fica em
xv = 2cdot1 + 4raiz5 = 6raiz5, yv = 1 - 2cdot4raiz5 = -7raiz5
O eixo da parábola é paralelo ao vetor autovetor de lambda2=0, ou seja na direção de (1,-2). A parábola abre no sentido negativo de v, isto é na direção (-1,2).
Esboço: vértice em l(tfrac6raiz5,-tfrac7raiz5r), eixo inclinado de coeficiente angular -2, e forma simétrica em relação a ele, abrindo “para cima” no sentido do vetor (-1,2).

Resposta

Forma canônica em (u,v):
v = 4 ;-;(u-1)^2,
vértece l(tfrac6raiz5,-tfrac7raiz5r) em (x,y), eixo na direção (1,-2), parábola abrindo no sentido (-1,2).

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