Faça o que se pede em cada item:
Mostre que os polinômios 1+t, 1-t^2, t+2 t^2 >=ram P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
p1(t)=1+t, p2(t)=1-t^2, p3(t)=t+2t^2
geram o espaço P2(R) dos polinômios de grau <=2.
Isto significa que, dado um polinômio genérico
p(t)=a + b,t + c,t^2,
devemos encontrar escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha,p1(t)+beta,p2(t)+gamma,p3(t) ;=;a + b,t + c,t^2

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e expandimos:
alpha(1+t)+beta(1-t^2)+gamma(t+2t^2) =alpha+alpha t+beta-beta t^2+gamma t+2gamma t^2
Reagrupando coeficientes, obtemos
(alpha+beta) ;+; (alpha+gamma),t ;+; (-beta+2gamma),t^2

Passo 3

Para essa expressão coincidir com a + b,t + c,t^2, igualamos coeficientes:
alpha+beta = a, alpha+gamma = b, -,beta+2gamma = c

Passo 4

Resolvendo o sistema em alpha,beta,gamma:
da primeira equação alpha=a-beta.
Substituindo na segunda,
(a-beta)+gamma=b ;Longrightarrow; gamma = b - a + beta
Substituindo beta e gamma na terceira,
-,beta+2(b - a + beta)=c ;Longrightarrow; -,beta+2b-2a+2beta=c ;Longrightarrow; beta = c-2b+2a
Logo
alpha = a-beta = a-(c-2b+2a)=2b - a - c, gamma = b - a + beta = b - a + (c-2b+2a)=a - b + c
Esses valores existem para quaisquer a,b,c.

Passo 5

Concluímos que dado qualquer polinômio a+b,t+c,t^2 podemos escrever
a+b,t+c,t^2 =alpha,(1+t)+beta,(1-t^2)+gamma,(t+2t^2),
com alpha=2b-a-c, beta=c-2b+2a, gamma=a-b+c. Portanto os três polinômios geram P2(R).

Resposta

Os polinômios 1+t, 1-t^2 e t+2t^2 geram P2(R) porque qualquer a+b,t+c,t^2 pode ser escrito como combinação linear deles.

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