Faça o que se pede em cada item:
Mostre que os polinômios
.
Mostre que os polinômios
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
geram o espaço
dos polinômios de grau
.
Isto significa que, dado um polinômio genérico
Isto significa que, dado um polinômio genérico
devemos encontrar escalares
tais que
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e expandimos:
Reagrupando coeficientes, obtemos
Passo 3
Para essa expressão coincidir com
, igualamos coeficientes:
Passo 4
Resolvendo o sistema em
alpha,beta,gamma :
da primeira equaçãoalpha=a-beta .
Substituindo na segunda,
da primeira equação
Substituindo na segunda,
Substituindo
beta e
gamma na terceira,
Logo
Esses valores existem para quaisquer
a,b,c .
Passo 5
Concluímos que dado qualquer polinômio
a+b,t+c,t^2 podemos escrever
com
alpha=2b-a-c ,
beta=c-2b+2a ,
gamma=a-b+c . Portanto os três polinômios geram
P2(R) .
Resposta
Os polinômios
1+t ,
1-t^2 e
t+2t^2 geram
P2(R) porque qualquer
a+b,t+c,t^2 pode ser escrito como combinação linear deles.