Considere os subespaços U=[t^2+2, t+1, t^2+t+3] e W=a t^2+b t+c in R^3: a-b+2 c=0 de P2(R). Determine:
W cap U

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a interseção entre dois subespaços de polinômios: U = [t^2+2, t+1, t^2+t+3] e W = a t^2+b t+c in P2(R) : a - b + 2c = 0 . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e interseção de subespaços, além de trabalhar com polinômios de grau até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa U = [t^2+2, t+1, t^2+t+3] . Isso significa que U é o subespaço gerado pelas combinações lineares desses três polinômios. Ou seja, qualquer polinômio em U pode ser escrito como:
p(t) = alpha(t^2 + 2) + beta(t + 1) + gamma(t^2 + t + 3)
onde alpha, beta, gamma são números reais.

Passo 3

Vamos expandir essa expressão para identificar os coeficientes de t^2 , t e o termo constante:
p(t) = alpha t^2 + 2alpha + beta t + beta + gamma t^2 + gamma t + 3gamma
Agrupando os termos semelhantes:
p(t) = (alpha + gamma) t^2 + (beta + gamma) t + (2alpha + beta + 3gamma)
Então, os coeficientes de p(t) são:
a = alpha + gamma
b = beta + gamma
c = 2alpha + beta + 3gamma

Passo 4

Agora, sabemos que p(t) também precisa pertencer a W , que é definido por a - b + 2c = 0 . Vamos substituir a , b e c pelas expressões que encontramos:
(alpha + gamma) - (beta + gamma) + 2(2alpha + beta + 3gamma) = 0
Simplificando:
alpha + gamma - beta - gamma + 4alpha + 2beta + 6gamma = 0
Juntando termos semelhantes:
5alpha + beta + 6gamma = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação que relaciona alpha, beta e gamma :
5alpha + beta + 6gamma = 0
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver para beta :
beta = -5alpha - 6gamma

Passo 6

Substituindo beta = -5alpha - 6gamma na expressão de p(t) :
p(t) = alpha t^2 + 2alpha + (-5alpha - 6gamma) t + (-5alpha - 6gamma) + gamma t^2 + gamma t + 3gamma
Simplificando os termos:
p(t) = (alpha + gamma) t^2 + (-5alpha - 6gamma + gamma) t + (2alpha - 5alpha - 6gamma + 3gamma)
p(t) = (alpha + gamma) t^2 + (-5alpha - 5gamma) t + (-3alpha - 3gamma)
Podemos fatorar -5 e -3 nas partes dos coeficientes:
p(t) = (alpha + gamma) t^2 - 5(alpha + gamma) t - 3(alpha + gamma)

Passo 7

Observamos que alpha + gamma é um fator comum. Vamos chamar k = alpha + gamma . Assim, podemos reescrever p(t) como:
p(t) = k t^2 - 5k t - 3k = k(t^2 - 5t - 3)
Isso mostra que todo polinômio em W cap U é um múltiplo escalar de t^2 - 5t - 3 .

Resposta

A interseção W cap U é o conjunto formado por todos os múltiplos de t^2 - 5t - 3 . Ou seja,
W cap U = k(t^2 - 5t - 3) , | , k in R

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