Considere os subespaços
e
de
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a interseção entre dois subespaços de polinômios:
e
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e interseção de subespaços, além de trabalhar com polinômios de grau até 2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso significa que
é o subespaço gerado pelas combinações lineares desses três polinômios. Ou seja, qualquer polinômio em
pode ser escrito como:
onde
são números reais.
Passo 3
Vamos expandir essa expressão para identificar os coeficientes de
,
e o termo constante:
Agrupando os termos semelhantes:
Então, os coeficientes de
são:
Passo 4
Agora, sabemos que
também precisa pertencer a
, que é definido por
. Vamos substituir
,
e
pelas expressões que encontramos:
Simplificando:
Juntando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, temos uma equação que relaciona
e
:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver para
:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando os termos:
Podemos fatorar
e
nas partes dos coeficientes:
Passo 7
Observamos que
é um fator comum. Vamos chamar
. Assim, podemos reescrever
como:
Isso mostra que todo polinômio em
é um múltiplo escalar de
.
Resposta
A interseção
é o conjunto formado por todos os múltiplos de
. Ou seja,