Seja
, considere os conjuntos
e
É correto afirmar que
? Qual o significado disso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A questão nos apresenta dois subconjuntos desse espaço,
e
, definidos por certas condições nos coeficientes dos polinômios. A pergunta é: será que todo polinômio em
pode ser escrito como a soma de um polinômio de
e um de
de uma maneira única? Isso é o que significa
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
.
-
é o conjunto de todos os polinômios onde . Ou seja, qualquer polinômio em tem o coeficiente de igual ao de . -
é o conjunto de polinômios onde e . Então, em , não tem termos de nem de constante, e os coeficientes de e são iguais em módulo, mas com sinais opostos.
Passo 3
Para verificar se
, precisamos checar duas coisas:
- Soma direta: Todo polinômio em
pode ser escrito como a soma de um polinômio de e um de . - Interseção trivial: A única forma de um polinômio pertencer a ambos
e ao mesmo tempo é ser o polinômio zero.
Passo 4
Vamos começar verificando a soma. Seja um polinômio geral em
:
Queremos encontrar
e
tais que:
Como
está em
, temos:
com
.
E como
está em
, temos:
com
.
Somando:
Igualando os coeficientes com
, temos:
Além disso, lembrando que
e
.
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
- De
temos . - De
temos . - De
e , podemos expressar e . - Substituindo na equação
, temos . - E na equação
, substituindo e :
Então:
Passo 6
Agora, podemos construir
e
:
Somando, realmente recebemos
. Isso mostra que todo
em
pode ser escrito como
, com
e
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a interseção de
e
. Ou seja, quais polinômios pertencem a ambos os conjuntos?
Se
está em
e em
, então:
- De
, . - De
, e .
Combinando
e
, obtemos
. Além disso,
.
Então, o único polinômio que está em ambos é o polinômio zero:
Resposta
Sim,
. Isso significa que todo polinômio em
pode ser escrito de forma única como a soma de um polinômio de
e outro de
, e que a única forma de um polinômio pertencer a ambos os conjuntos é sendo o polinômio zero.