Seja V=P3(R), considere os conjuntos
W1=a t^3+b t^2+c t+d in P3(R): b=c
e
W2=a t^3+b t^2+c t+d in P3(R): a=d=0 e b=-c
É correto afirmar que V=W1 oplus W2 ? Qual o significado disso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V = P3(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A questão nos apresenta dois subconjuntos desse espaço, W1 e W2 , definidos por certas condições nos coeficientes dos polinômios. A pergunta é: será que todo polinômio em V pode ser escrito como a soma de um polinômio de W1 e um de W2 de uma maneira única? Isso é o que significa V = W1 oplus W2 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são W1 e W2 .
  • W1 é o conjunto de todos os polinômios a t^3 + b t^2 + c t + d onde b = c . Ou seja, qualquer polinômio em W1 tem o coeficiente de t^2 igual ao de t .
  • W2 é o conjunto de polinômios a t^3 + b t^2 + c t + d onde a = d = 0 e b = -c . Então, em W2 , não tem termos de t^3 nem de constante, e os coeficientes de t^2 e t são iguais em módulo, mas com sinais opostos.

Passo 3

Para verificar se V = W1 oplus W2 , precisamos checar duas coisas:
  1. Soma direta: Todo polinômio em V pode ser escrito como a soma de um polinômio de W1 e um de W2 .
  2. Interseção trivial: A única forma de um polinômio pertencer a ambos W1 e W2 ao mesmo tempo é ser o polinômio zero.

Passo 4

Vamos começar verificando a soma. Seja um polinômio geral em V :
p(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d
Queremos encontrar p1(t) in W1 e p2(t) in W2 tais que:
p(t) = p1(t) + p2(t)
Como p1(t) está em W1 , temos:
p1(t) = a1 t^3 + b1 t^2 + c1 t + d1
com b1 = c1 .
E como p2(t) está em W2 , temos:
p2(t) = 0 cdot t^3 + b2 t^2 + c2 t + 0
com b2 = -c2 .
Somando:
p(t) = (a1 t^3 + b1 t^2 + c1 t + d1) + (b2 t^2 + c2 t)
p(t) = a1 t^3 + (b1 + b2) t^2 + (c1 + c2) t + d1
Igualando os coeficientes com p(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d , temos:
  • a1 = a
  • b1 + b2 = b
  • c1 + c2 = c
  • d1 = d
Além disso, lembrando que b1 = c1 e b2 = -c2 .

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. De a1 = a temos a1 = a .
  2. De d1 = d temos d1 = d .
  3. De b1 = c1 e b2 = -c2 , podemos expressar c1 = b1 e c2 = -b2 .
  4. Substituindo na equação b1 + b2 = b , temos b1 = b - b2 .
  5. E na equação c1 + c2 = c , substituindo c1 e c2 :
b1 + (-b2) = c
(b - b2) - b2 = c
b - 2b2 = c
2b2 = b - c
b2 = b - c2
Então:
b1 = b - b - c2 = b + c2
c1 = b1 = b + c2
c2 = -b2 = -b - c2 = c - b2

Passo 6

Agora, podemos construir p1(t) e p2(t) :
p1(t) = a t^3 + b + c2 t^2 + b + c2 t + d
p2(t) = 0 cdot t^3 + b - c2 t^2 + c - b2 t + 0
Somando, realmente recebemos p(t) . Isso mostra que todo p(t) em V pode ser escrito como p1(t) + p2(t) , com p1 in W1 e p2 in W2 .

Passo 7

Agora, vamos verificar a interseção de W1 e W2 . Ou seja, quais polinômios pertencem a ambos os conjuntos?
Se p(t) está em W1 e em W2 , então:
  • De W1 , b = c .
  • De W2 , a = d = 0 e b = -c .
Combinando b = c e b = -c , obtemos b = c = 0 . Além disso, a = d = 0 .
Então, o único polinômio que está em ambos é o polinômio zero:
p(t) = 0 t^3 + 0 t^2 + 0 t + 0

Resposta

Sim, V = W1 oplus W2 . Isso significa que todo polinômio em V pode ser escrito de forma única como a soma de um polinômio de W1 e outro de W2 , e que a única forma de um polinômio pertencer a ambos os conjuntos é sendo o polinômio zero.

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