Se A=(lla1 & b1 c1 & d1) e B=(lla2 & b2 c2 & d2) sũo matrizes quaisquer de M(2,2), mostre
que que
lang<= A, Brang<==a1 a2+b1 b2+c1 c2+d1 d2
define um produto interno em M(2,2) e encontre |A+B|.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes genéricas em M(2,2):
A = a1 & b1 c1 & d1, B = a2 & b2 c2 & d2,
e define
lang<= A,Brang<= = a1a2+b1b2+c1c2+d1d2
Precisamos mostrar que isto satisfaz as três propriedades de produto interno (linearidade na primeira entrada, simetria e positividade definida) e então calcular |A+B|.

Passo 2

(Linearidade na primeira entrada)
Sejam A,C,Bin M(2,2) e alpha,betainR. Escrevendo
A = (a1,b1,c1,d1), C = (a'1,b'1,c'1,d'1), B = (a2,b2,c2,d2),
temos
lang<= alpha A+beta C,,Brang<= = (alpha a1+beta a'1)a2 +(alpha b1+beta b'1)b2 +(alpha c1+beta c'1)c2 +(alpha d1+beta d'1)d2
Agrupando fatores, fica
=alpha(a1a2+b1b2+c1c2+d1d2) +beta(a'1a2+b'1b2+c'1c2+d'1d2) =alphalang<= A,Brang<=+betalang<= C,Brang<=

Passo 3

(Simetria)
Basta observar que a expressão é simétrica em (a1,b1,c1,d1) e (a2,b2,c2,d2). Ou seja,
lang<= A,Brang<= = a1a2+b1b2+c1c2+d1d2 = a2a1+b2b1+c2c1+d2d1 =lang<= B,Arang<=

Passo 4

(Positividade definida)
lang<= A,Arang<= = a1^2+b1^2+c1^2+d1^2>=0,
com igualdade se, e somente se, a1=b1=c1=d1=0, ou seja, A é a matriz nula. Logo é positiva definida.

Passo 5

(Cálculo de |A+B|)
A norma induzida é
|A+B| = raizlang<= A+B,,A+Brang<=
Como
A+B = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2,
temos
lang<= A+B,,A+Brang<= =(a1+a2)^2+(b1+b2)^2+(c1+c2)^2+(d1+d2)^2
Portanto
|A+B| = raiz(a1+a2)^2+(b1+b2)^2+(c1+c2)^2+(d1+d2)^2

Resposta

|A+B| = raiz(a1+a2)^2+(b1+b2)^2+(c1+c2)^2+(d1+d2)^2

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