Considere os subespaços
e
de
. Determine:
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
(o span desses três polinômios) e
.
Queremos encontrar , isto é, o conjunto de somas de um elemento de
com um de
.
Para isso vamos usar teoria de dimensão de subespaços, bases e a fórmula
Queremos encontrar
Para isso vamos usar teoria de dimensão de subespaços, bases e a fórmula
Passo 2
Primeiro achamos uma base de
. Note que
ou seja o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Logo uma base de
é
e
Passo 3
O subespaço
é definido pela única equação linear
nos coeficientes
. Isso impõe um grau de liberdade a menos em
, então
Passo 4
Agora calculamos
. Um elemento genérico de
é
Para que esse polinômio esteja em
deve valer
Daí
e todo elemento de
tem a forma
Isso mostra que
é gerado por um único polinômio, logo
Passo 5
Aplicando a fórmula de dimensão do somatório:
Como
tem dimensão
, concluímos que