Considere os subespaços U=[t^2+2, t+1, t^2+t+3] e W=a t^2+b t+c in R^3: a-b+2 c=0 de P2(R). Determine:
W+U.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de P2(R):
U=l[;t^2+2,;t+1,;t^2+t+3r] (o span desses três polinômios) e
W=,a t^2+b t+cinP2(R)mid a - b + 2c = 0.
Queremos encontrar W+U, isto é, o conjunto de somas de um elemento de W com um de U.
Para isso vamos usar teoria de dimensão de subespaços, bases e a fórmula
dim(W+U)=dim W+dim U-dim(Wcap U)

Passo 2

Primeiro achamos uma base de U. Note que
t^2+t+3 = (t^2+2) + (t+1),
ou seja o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Logo uma base de U é
,u1=t^2+2,;u2=t+1,
e
dim U = 2

Passo 3

O subespaço W é definido pela única equação linear a - b + 2c=0 nos coeficientes (a,b,c). Isso impõe um grau de liberdade a menos em R^3, então
dim W = 2

Passo 4

Agora calculamos dim(Wcap U). Um elemento genérico de U é
alpha,(t^2+2);+;beta,(t+1) =alpha,t^2 ;+;beta,t;+;(2alpha+beta)
Para que esse polinômio esteja em W deve valer
a - b + 2c = 0 Longrightarrow alpha - beta +2(2alpha+beta)=0 ;Longrightarrow; 5alpha + beta = 0
Daí beta=-5alpha e todo elemento de Wcap U tem a forma
alphal(t^2+2r) -5alphal(t+1r) =alphal(t^2-5t-3r)
Isso mostra que Wcap U é gerado por um único polinômio, logo
dim(Wcap U)=1

Passo 5

Aplicando a fórmula de dimensão do somatório:
dim(W+U) = dim W + dim U - dim(Wcap U) = 2 + 2 - 1 = 3
Como P2(R) tem dimensão 3, concluímos que
W+U = P2(R)

Resposta

W+U = P2(R).

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