Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Defina base de um espaço vetorial V e explique por que essa noção é importante.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma base de um espaço vetorial V e discutirmos por que essa noção é relevante. Para isso, vamos precisar usar dois conceitos-chave da teoria de espaços vetoriais: independência linear e geração (span).

Passo 2

Independência linear é a propriedade que garante que nenhum vetor de um conjunto seja combinação linear dos demais. Mais formalmente, um conjunto S=v1,v2,dots,vksubset V é linearmente independente se, sempre que
alpha1 v1 + alpha2 v2 + cdots + alphak vk = 0,
então necessariamente alpha1 = alpha2 = cdots = alphak = 0. Essa condição evita redundâncias entre os vetores de S.

Passo 3

Geração (ou span) é a noção de cobrir todo o espaço vetorial usando combinações lineares de um conjunto. Dizemos que gera (ou ) se, para todo , existirem escalares tais que
onde são vetores em .

Passo 4

Com esses dois conceitos, definimos base de . Um subconjunto é base de se e somente se
  1. é linearmente independente;
  2. .
Em outras palavras, é um conjunto mínimo (sem redundância) que gera todo o espaço.

Passo 5

A noção de base é importante porque:
– Permite definir coordenadas únicas para cada vetor: dado B=b1,dots,bn, cada vin V se escreve de modo único como v=sumi=1^n alphai bi.
– Leva ao conceito de dimensão, pois qualquer base de V tem sempre o mesmo número de vetores ( dim(V)).
– Facilita a representação de transformações lineares por matrizes: fixando bases em domínio e contradomínio, toda transformação linear se torna uma matriz.
– Classifica espaços vetoriais: dois espaços de mesma dimensão sobre o mesmo corpo são isomorfos, ou seja, “iguais” estruturalmente.

Resposta

Uma base de um espaço vetorial é um subconjunto que (i) é linearmente independente e (ii) gera (isto é, ). Essa noção é central porque permite atribuir coordenadas únicas a cada vetor, define a dimensão de e viabiliza a representação de transformações lineares por matrizes, além de classificar espaços de mesma dimensão como isomorfos.

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