Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Defina base de um espaço vetorial
e explique por que essa noção é importante.
Defina base de um espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma base de um espaço vetorial
e discutirmos por que essa noção é relevante. Para isso, vamos precisar usar dois conceitos-chave da teoria de espaços vetoriais: independência linear e geração (span).
Passo 2
Independência linear é a propriedade que garante que nenhum vetor de um conjunto seja combinação linear dos demais. Mais formalmente, um conjunto
é linearmente independente se, sempre que
então necessariamente
. Essa condição evita redundâncias entre os vetores de
.
Passo 3
Geração (ou span) é a noção de cobrir todo o espaço vetorial usando combinações lineares de um conjunto. Dizemos que
gera
(ou ) se, para todo
, existirem escalares
tais que
onde
são vetores em
.
Passo 4
Com esses dois conceitos, definimos base de
. Um subconjunto
é base de
se e somente se
-
é linearmente independente; - .
Em outras palavras,
é um conjunto mínimo (sem redundância) que gera todo o espaço.
Passo 5
A noção de base é importante porque:
– Permite definir coordenadas únicas para cada vetor: dado , cada
se escreve de modo único como
.
– Leva ao conceito de dimensão, pois qualquer base de tem sempre o mesmo número de vetores (
).
– Facilita a representação de transformações lineares por matrizes: fixando bases em domínio e contradomínio, toda transformação linear se torna uma matriz.
– Classifica espaços vetoriais: dois espaços de mesma dimensão sobre o mesmo corpo são isomorfos, ou seja, “iguais” estruturalmente.
– Permite definir coordenadas únicas para cada vetor: dado
– Leva ao conceito de dimensão, pois qualquer base de
– Facilita a representação de transformações lineares por matrizes: fixando bases em domínio e contradomínio, toda transformação linear se torna uma matriz.
– Classifica espaços vetoriais: dois espaços de mesma dimensão sobre o mesmo corpo são isomorfos, ou seja, “iguais” estruturalmente.
Resposta
Uma base de um espaço vetorial
é um subconjunto
que (i) é linearmente independente e (ii) gera
(isto é, ). Essa noção é central porque permite atribuir coordenadas únicas a cada vetor, define a dimensão de
e viabiliza a representação de transformações lineares por matrizes, além de classificar espaços de mesma dimensão como isomorfos.