Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Como podemos verificar se um dado conjunto de vetores é L.D.? Utilize o método que você descreveu para verificar se os vetores do conjunto A=7 t^2+4 t+10, t^2+t-2, t+3,3 t^2+5 t+9 são L.D.

Passo 1

O enunciado quer saber como verificar se um conjunto de vetores (aqui polinômios) é linearmente dependente (L.D.) e pede para aplicar o método ao conjunto
A=,7t^2+4t+10,;t^2+t-2,;t+3,;3t^2+5t+9
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, mais precisamente teste de dependência linear em P2 (polinômios de grau <=2). Usaremos a representação de cada polinômio pelas suas coordenadas na base t^2,t,1.

Passo 2

O método geral para testar se v1,dots,vn é L.D. é:
1. Escrever a combinação linear
c1v1+cdots+cnvn=0(vetor nulo)
2. Traduzir isso em um sistema linear equacionando cada coordenada a zero.
3. Resolver o sistema. Se existir solução não-trivial (algum cineq0), o conjunto é L.D.; caso contrário, é L.I.

Passo 3

Para o conjunto A fazemos
c1(7t^2+4t+10)+c2(t^2+t-2)+c3(t+3)+c4(3t^2+5t+9)=0,forall t
Igualando coeficientes de t^2, t e constante, obtemos o sistema
7c1+c2+3c4=0, 4c1+c2+c3+5c4=0, 10c1-2c2+3c3+9c4=0

Passo 4

Resolvendo: da primeira equação c2=-7c1-3c4. Substituindo na segunda obtemos
4c1+(-7c1-3c4)+c3+5c4=0 ;Longrightarrow;-3c1+c3+2c4=0 ;Longrightarrow;c3=3c1-2c4
Na terceira:
10c1-2(-7c1-3c4)+3(3c1-2c4)+9c4=0 ;Longrightarrow;33c1+9c4=0 ;Longrightarrow;c4=-tfrac113c1
Tomando, por exemplo, c1=3 c4=-11, c2=-7cdot3-3(-11)=12, c3=3cdot3-2(-11)=31.

Passo 5

Como encontramos (c1,c2,c3,c4)=(3,12,31,-11)neq(0,0,0,0) tal que
3(7t^2+4t+10)+12(t^2+t-2)+31(t+3)-11(3t^2+5t+9)=0,
concluímos que A é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente, pois existe combinação não-trivial dos vetores que dá o polinômio zero.

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